[論文レビュー] Prediction of functional ARMA processes with an application to traffic data

Johannes Klepsch, Claudia Klüppelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2016

Fault Detection and Control Systems参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、関数的自己回帰移動平均(p,q)過程の計算的に実行可能な予測手法を提案する。関数的主成分分析（FPCA）を用いて関数データを有限次元部分空間に射影することで、予測にベクトルARMAモデルを適用可能にする。主な貢献は、関数的最良線形予測子とベクトルモデル予測子の差が、主成分の数を増やすにつれて小さくなることを示す理論的バインディングであり、実際の高速道路交通速度データを用いた予測精度の優位性によって検証されている。d=4の成分を用いたベクトルMA(1)モデルが、優れた予測性能を示した。

ABSTRACT

This work is devoted to functional ARMA$(p, q)$ processes and approximating vector models based on functional PCA in the context of prediction. After deriving sufficient conditions for the existence of a stationary solution to both the functional and the vector model equations, the structure of the approximating vector model is investigated. The stationary vector process is used to predict the functional process. A bound for the difference between vector and functional best linear predictor is derived. The paper concludes by applying functional ARMA processes for the modeling and prediction of highway traffic data.

研究の動機と目的

• 関数的ARMA(p,q)過程の実用的予測手法を開発すること。関数的ARMA(p,q)過程は無限次元構造のため、解析的に扱いにくい。
• 関数的および射影されたベクトルARMAモデルにおける定常解の存在に十分な条件を確立すること。
• 関数的最良線形予測子と、有限次元ベクトルモデルから導かれる予測子との間の近似誤差を定量化すること。
• 実世界の高速道路交通速度データにこの手法を適用し、短期予測性能の向上を示すこと。
• 標準的なRパッケージ（fda, mts）を用いて、関数時系列分析に適した簡潔で実装可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 関数的主成分分析（FPCA）を用いて、共分散作用素のd個の主要固有関数の線形空間に、高次元関数データを射影する。
• 射影された過程がベクトルARMA(p,q)モデルに従う条件を導出し、定常性と因果的表現を保証する。
• Durbin-Levinson法またはイノベーションズ・アルゴリズムを用いて、ベクトルモデルの最良線形予測子を反復的に計算する。
• 主成分基底を用いて、ベクトル予測結果を関数空間に再構築することで、関数的予測子を得る。
• 関数的最良線形予測子とベクトルモデル予測子との差に理論的バインディングを確立し、d → ∞ のときの収束を示す。
• 予測誤差の交差検証により、最適なモデル次数(p,q)と次元dを選択する。検証にはRMSEおよびMAE指標を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的ARMA(p,q)過程が一意の定常的かつ因果的な解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 関数的ARMA(p,q)過程を最初のd個の主成分に射影したとき、それが正確にベクトルARMA(p,q)過程となるのはいつか？
• RQ3 ベクトルモデル予測子の予測誤差は、関数的最良線形予測子と比べてどの程度か。この差はバインディング可能か？
• RQ4 交通速度関数を予測する際、最適な主成分数dとモデル次数(p,q)は何か？
• RQ5 提案手法は、指数平滑法やナイーブ予測といった標準的な非パラメトリック手法を上回る性能を示せるか？

主な発見

• 関数的ARMA(p,q)過程は、自己回帰および移動平均作用素のスペクトル半径が十分に小さい条件下で、一意の定常的かつ因果的な解をもつ。
• 共分散作用素の固有関数が関数的ARMA作用素の作用に関して不変である限り、射影されたベクトル過程は正確にベクトルARMA(p,q)モデルである。
• 関数的MA(1)過程の場合、射影されたベクトル過程は自動的にベクトルMA(1)過程となり、モデル構造が保存される。
• 主成分数dを増やすにつれて、関数的最良線形予測子とベクトルモデル予測子との差は0に収束する。
• 交通データにおいて、交差検証による最適なモデル選択は、d=4の主成分を用いたベクトルMA(1)モデルであり、1ステップ予測誤差が最小（RMSE = 4.83、MAE = 3.54）を達成した。
• 提案手法は、指数平滑法、ナイーブ予測、平均ベースの予測といった標準的な非パラメトリック手法を、RMSEおよびMAEの観点で顕著に上回った。