[論文レビュー] Preference fusion when the number of alternatives exceeds two: indirect scoring procedures

Pavel Chebotarev, Elena Shamis|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2006

Multi-Criteria Decision Making参考文献 34被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、2つ以上の代替案における不完全な順序付けを統合するための間接的スコアリング手順を分析し、それらが自己一貫性のある単調性（SCM）公理を満たすかどうかに注目している。本稿では、勝利-敗北結合スコアリング手順のクラスを導入し、それが普遍的にSCMを破ると証明するとともに、SCMを満たすための十分条件を確立している。一般化された行和手順はSCMを満たすことが示され、非推移的かつ不完全なデータ下での順序付け統合のための頑健な手法を提供する。

ABSTRACT

We consider the problem of aggregation of incomplete preferences represented by arbitrary binary relations or incomplete paired comparison matrices. For a number of indirect scoring procedures we examine whether or not they satisfy the axiom of self-consistent monotonicity. The class of {\em win-loss combining scoring procedures} is introduced which contains a majority of known scoring procedures. Two main results are established. According to the first one, every win-loss combining scoring procedure breaks self-consistent monotonicity. The second result provides a sufficient condition of satisfying self-consistent monotonicity.

研究の動機と目的

• より2つ以上の代替案を含む順序付け統合において、間接的スコアリング手順が自己一貫性のある単調性（SCM）公理を満たすかどうかを評価すること。
• 不完全な順序付けデータ下でも一貫性を保つために、広く用いられる勝利-敗北結合スコアリング手順の限界を検討すること。
• スコアリング手順がSCMを満たすための十分条件を同定することにより、順位付け結果の論理的一致性を保証すること。
• 特に一般化された行和手順を含む既知のスコアリング手順を、SCM基準に基づいて比較すること。
• 不完全な意思決定状況下での頑健な順序付け統合手法の公理的導出の基盤を築くこと。

提案手法

• 個々の順序付けを、1（i > j）、0（j > i）、1/2（同等）、または未定義（意見なし）の要素を持つ不完全な対比較行列としてモデル化する。
• スコアリング手順を、各代替案に対して実数スコアを割り当てる中立的かつ無名関数として定義する。
• 自己一貫性のある単調性（SCM）公理を導入し、iがjを一貫的に上回る場合、iのスコアがjのスコア以下であってはならないことを要請する。
• 実数の三重対（ap_ij, si, sj）の多重集合上に定義された関数fに基づく、SCM満たしのための十分条件を提案する。この関数fは、ap_ij、si、sjに関して単調性を満たす必要がある。
• 十分条件を適用して、一般化された行和手順がSCMを満たすことを確認するとともに、すべての勝利-敗北結合手順がSCMを満たさないことを証明する。
• グラフ理論的およびマルコフ連鎖的解釈を用いて、一般化された行和手順の一貫性と安定性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不完全な順序付けにおいて、一般的な間接的スコアリング手順は自己一貫性のある単調性を保つのか？
• RQ2 なぜ勝利-敗北結合スコアリング手順は普遍的に自己一貫性のある単調性公理を満たさないのか？
• RQ3 数学的条件として、スコアリング手順が不完全な順序付け統合において自己一貫性のある単調性を尊重するためには何が必要か？
• RQ4 一般化された行和およびその他の非線形スコアリング手法は、SCMを満たす点でどのように比較されるか？
• RQ5 マクロ頂点独立性や分割バランスといった追加の公理は、一貫性のあるスコアリング手順の選定をさらに精緻化できるか？

主な発見

• すべての勝利-敗北結合スコアリング手順（例：行和、一般化された行和）は、定理8で示されるように、自己一貫性のある単調性（SCM）公理を満たさない。
• 一般化された行和手順は、定理12の十分条件を暗黙的に満たすため、命題11で示されるようにSCMを満たす。
• SCM満たしのための十分条件が確立された：多重集合上の三重対（ap_ij, si, sj）に対する関数fは、ap_ijおよびsjに関して増加的で、siに関して減少的で、1または0の要素を置き換える際に厳密単調性を満たす必要がある。
• 一般化された行和手順は、パrameter εと相対的パフォーマンス行列を含む線形方程式系から導出され、安定性と一貫性を保証する。
• 4つの分析対象のうち、一般化された行和手順のみがSCMを満たし、かつすべての順序付けプロファイルで定義されている。他の手法は、非分割プロファイルに限定されている。
• 本稿では、SCMが過度に制限的ではないことが示されている。例えば、既知の強力なプレーヤーに傾斜を置くような事前の順位付けを許容するが、分割バランスなどの公理によってさらに制約を加えることができる。