[論文レビュー] Pregeometric Spaces from Wolfram Model Rewriting Systems as Homotopy Types

Xerxes D. Arsiwalla, Jonathan Gorard|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、ホモトピー型として形式化された非決定的書き換え系から、ワルフマン・モデルにおける事幾何的空間が生じることを提案する。高階圏的構造、特に∞-群コホモロジーと(∞,1)-トポスが、幾何学を体系的に記述する。多様な書き換え系を型理論的構成としてモデル化することで、著者らは空間的および位相的構造が、背後に幾何学的構造を仮定せずに、完全に離散的で文法的な規則から関手的に生じることを示した。

ABSTRACT

How do spaces emerge from pregeometric discrete building blocks governed by computational rules? To address this, we investigate non-deterministic rewriting systems (multiway systems) of the Wolfram model. We express these rewriting systems as homotopy types. Using this new formulation, we outline how spatial structures can be functorially inherited from pregeometric type-theoretic constructions. We show how higher homotopy types are constructed from rewriting rules. These correspond to morphisms of an $n$-fold category. Subsequently, the $n \ o \\infty$ limit of the Wolfram model rulial multiway system is identified as an $\\infty$-groupoid, with the latter being relevant given Grothendieck's homotopy hypothesis. We then go on to show how this construction extends to the classifying space of rulial multiway systems, which forms a multiverse of multiway systems and carries the formal structure of an ${\\left(\\infty, 1\ ight)}$-topos. This correspondence to higher categorical structures offers a new way to understand how spaces relevant to physics may arise from pregeometric combinatorial models. A key issue we have addressed here is to relate abstract non-deterministic rewriting systems to higher homotopy spaces. A consequence of constructing spaces and geometry synthetically is that it eliminates ad hoc assumptions about geometric attributes of a model such as an a priori background or pre-assigned geometric data. Instead, geometry is inherited functorially by higher structures. This is relevant for formally justifying different choices of underlying spacetime discretization adopted by models of quantum gravity. We conclude with comments on how our framework of higher category-theoretic combinatorial constructions, corroborates with other approaches investigating higher categorical structures relevant to the foundations of physics.

研究の動機と目的

• 本論文の目的は、純粋に事幾何的で離散的な書き換え系から幾何学的および位相的構造がどのように形式化されるかを明らかにすることである。
• 本論文は、事前に幾何学的または位相的データを仮定しないで時空幾何学を導出する基礎的課題に取り組む。
• 目的は、幾何学を強制するのでなく、高階ホモトピー的構造から引き継がれるように、物理学に体系的で型理論的な基礎を提供することである。
• 本論文は、さまざまな量子重力のアプローチを統合するために、それらの背後にある離散化スキームがホモトピー型理論と高階圏論によって理解可能であることを示すことを目指す。

提案手法

• ワルフマン・モデルの多様な書き換え系は、ホモトピー型理論（HoTT）を用いて型理論的構成として形式化される。
• 書き換え規則はn重圏内の準同型として解釈され、導出の間の経路として高階ホモトピーを生成する。
• rulial多様書き換え系のn→∞極限は、∞-群コホモロジーとして特定され、グロテンディークのホモトピー仮説を満たす。
• rulial多様書き換え系の分類空間は、(∞,1)-トポスを形成し、豊かな圏的構造を持つ多宇宙の多様書き換え系を提供する。
• 本フレームワークはヴォエバドスキーの同一性公理を用いて、rulial多様書き換え系のトポス内に論理的および幾何的推論を内部化する。
• 幾何学は、グローバルな高階構造からの関手的継承によって体系的に導出され、背景時空に関する特別な仮定を排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワルフマン・モデルにおける、純粋に離散的で非幾何学的な書き換え規則から、空間的および位相的構造がどのように生じるのか？
• RQ2 多様書き換え系内での高階ホモトピーは、幾何学的構造をどのように符号化するのか？
• RQ3 rulial多様書き換え系の∞-群コホモロジーとしての極限は、ホモトピー仮説および体系的幾何学とどのように関係するのか？
• RQ4 rulial多様書き換え系の分類空間が(∞,1)-トポスを形成する仕組みは何か？そしてこの構造は物理的モデルの多宇宙をどのようにサポートするのか？
• RQ5 ホモトピー型理論のフレームワークは、量子重力におけるさまざまな時空離散化スキームを形式的に正当化できるか？

主な発見

• ワルフマン・モデルの多様書き換え系は、ホモトピー型として形式的に表現され、離散的規則から幾何学を体系的に構成可能になる。
• この系における高階ホモトピーはn重圏内の準同型として構成され、n→∞極限で∞-群コホモロジーを形成する。
• rulial多様書き換え系の分類空間は(∞,1)-トポスを形成し、物理理論の形式的多宇宙構造を提供する。
• 幾何学および位相的構造は、グローバルな高階圏的構造からの関手的継承によって得られ、背景仮定の必要性が排除される。
• 本フレームワークは、空間と時間が型理論的およびホモトピー的構成から生じる体系的物理学のアプローチを支持する。
• 本モデルは、高階圏論的構成を介して、量子重力、圏論的量子力学、トポロジカル場理論を統合するメタフレームワークを提供する。