[論文レビュー] Prehomogeneous Affine Representations and Flat Pseudo-Riemannian Manifolds

Oliver Baues|ArXiv.org|Sep 4, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 101被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リー群の前置型アフィン表現と平坦な擬リーマン、アフィン、シンプレクティック多様体との間に深い関係を確立する。特徴的類および不変量を構築し、相対コホモロジー類が消えないことと、同次空間上の不変測度の存在が同値であることを証明する。これは、単模的リー群に関するコシュールの結果を一般化する。

ABSTRACT

The theory of flat Pseudo-Riemannian manifolds and flat affine manifolds is closely connected to the topic of prehomogeneous affine representations of Lie groups. In this article, we exhibit several aspects of this correspondence. At the heart of our presentation is a development of the theory of characteristic classes and characters of prehomogeneous affine representations. We give applications concerning flat affine, as well as Pseudo-Riemannian and symplectic affine flat manifolds.

研究の動機と目的

• 平坦な擬リーマン、アフィン、シンプレクティック多様体とリー群の前置型アフィン表現との間の対応を明確化すること。
• 前置型アフィン表現のための特徴的類および特徴的指標の理論を構築すること。
• 同次空間 $G/H$ 上の不変測度の存在を、コホモロジー的および代数的条件によって特徴付けること。
• 単模的リー群に関するコシュールの上位コホモロジーにおける非消滅結果を、一般の同次空間に半不変測度を含めて拡張すること。
• 前置型表現の推移的および単模的性を特徴付けるコホモロジー的基準を提供すること。

提案手法

• 発展写像とホロノミー表現を用いて、平坦多様体と $(X,G)$-構造との関係を確立する。
• 一様次元モジュールを係数とするリー代数コホモロジーを適用して、特徴的類を定義する。
• 相対不変量および同次空間 $X=G/H$ の単模的指標 $\Delta_{G/H}$ を導入する。
• 相対リー代数コホモロジー $H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}_{\bar{\lambda}})$ を用いて特徴的類を構成する。
• $\mathrm{Ad}_{G/H}$ の随伴表現に依存して、$\Delta_{G/H}(h) = |\det \mathrm{Ad}_{G/H}(h)|$ を計算する。
• 右不変な半不変測度の存在と、$N_G(H)^0$ 上で $\lambda \cdot \Delta_{G/H}^{-1} \equiv 1$ が成り立つことの同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前置型アフィン表現は、平坦な擬リーマンおよびアフィン多様体の幾何とどのように関係するか？
• RQ2 同次空間 $G/H$ 上の不変または半不変測度の存在を特徴付けるコホモロジー的不変量は何か？
• RQ3 同次空間 $G/H$ 上の半不変測度が $N_G(H)^0$ に対して右不変となる条件は何か？
• RQ4 相対コホモロジー $H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}_{\bar{\lambda}})$ は、このような測度の存在をどのように検出するか？
• RQ5 この理論は、単模的リー群に関するコシュールの結果を非単模的状況にどのように拡張するか？

主な発見

• 相対コホモロジー類 $H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}_{\bar{\lambda}}) \neq \{0\}$ が非ゼロであることは、文字 $\lambda$ を持つ半不変測度 $G/H$ の存在と同値である。
• 同次空間 $G/H$ 上の半不変測度 $\mu$ が $N_G(H)^0$ に対して右不変であることは、$N_G(H)^0$ 上で $\lambda \cdot \Delta_{G/H}^{-1} \equiv 1$ が成り立つことと同値である。
• $G$ が可解群の場合、$H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}_{\bar{\lambda}}) \neq \{0\}$ が成り立つのは、$\lambda \equiv 1$ が $N_G(H)^0$ 上で成り立つときである。
• 単模的指標 $\Delta_{G/H}$ は $|\det \mathrm{Ad}_{G/H}(h)|$ で与えられ、測度の選び方に依存しない。
• この理論はコシュールの定理を一般化する：$H^n(\mathfrak{g}, \mathbb{R}) \neq \{0\}$ であることと、$G$ が単模的であることとは同値である。
• 同次空間 $G/H$ 上に不変測度が存在することは、$\Delta_{G/H} \equiv 1$ が $H$ 上で成り立つことと同値であり、コホモロジー的基準により $H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}) \neq \{0\}$ が確認される。