[論文レビュー] Preprocessing Ambiguous Imprecise Points

Ivor van der Hoog, Irina Kostitsyna+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、不確実な点集合における領域の重複度をより精細に測る指標として、曖昧性 A(R) を導入し、O(A(R)) 時間でソートおよびクアッドツリー構築をサポートする前処理を可能にする。A(R) が近接構造の再構築時間のタイトな下界であることを証明し、区間ソーティングおよび d 次元ユニットディスクへの応用を示す。

ABSTRACT

Let ${R} = \{R_1, R_2, ..., R_n\}$ be a set of regions and let $ X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ be an (unknown) point set with $x_i \in R_i$. Region $R_i$ represents the uncertainty region of $x_i$. We consider the following question: how fast can we establish order if we are allowed to preprocess the regions in $R$? The preprocessing model of uncertainty uses two consecutive phases: a preprocessing phase which has access only to ${R}$ followed by a reconstruction phase during which a desired structure on $X$ is computed. Recent results in this model parametrize the reconstruction time by the ply of ${R}$, which is the maximum overlap between the regions in ${R}$. We introduce the ambiguity $A({R})$ as a more fine-grained measure of the degree of overlap in ${R}$. We show how to preprocess a set of $d$-dimensional disks in $O(n \log n)$ time such that we can sort $X$ (if $d=1$) and reconstruct a quadtree on $X$ (if $d\geq 1$ but constant) in $O(A({R}))$ time. If $A({R})$ is sub-linear, then reporting the result dominates the running time of the reconstruction phase. However, we can still return a suitable data structure representing the result in $O(A({R}))$ time. In one dimension, ${R}$ is a set of intervals and the ambiguity is linked to interval entropy, which in turn relates to the well-studied problem of sorting under partial information. The number of comparisons necessary to find the linear order underlying a poset $P$ is lower-bounded by the graph entropy of $P$. We show that if $P$ is an interval order, then the ambiguity provides a constant-factor approximation of the graph entropy. This gives a lower bound of $Ω(A({R}))$ in all dimensions for the reconstruction phase (sorting or any proximity structure), independent of any preprocessing; hence our result is tight.

研究の動機と目的

• 不確かな点集合における領域重複度の粗い測度である ply に起因する制限を解消すること。
• 重複度をより正確に捉える、より洗練された測度である曖昧性 A(R) を開発すること。
• A(R) が近接構造の再構築時間のタイトな下界であることを示すこと。
• ソートおよびクアッドツリー構築のための O(A(R)) 時間で実行可能な効率的な前処理を示すこと。
• 曖昧性を区間エントロピーおよび部分順序の線形拡張数に関連づけ、部分情報下でのソーティングの新たな境界を提供すること。

提案手法

• すべての順列についての、以前の領域との交差回数の合計の最小値として、曖昧性 A(R) を定義する。
• 包含関係に整合する順列 π を用いて、動的かつ平衡なフィボナッチ木 E を構築する。
• 点を順列 π の順に挿入することで、2-変形クアッドツリー T を構築し、リーフポインタおよびアンカー節点を活用して効率的な位置特定を実現する。
• 挿入時に O(A(R)) 回の操作でバランスを維持する動的木構造を用いる。
• 各領域がクアッドツリー内で高々 O(|Γπ_i|) 個のリーフと交差することを用い、ここで |Γπ_i| は領域 Ri と重複する以前の領域の数である。
• 隣接ポインタおよびアンカー節点を用いることで、クアッドツリー内での点位置特定が O(log |Γπ_i|) 時間で行えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曖昧性 A(R) は、不確かな点集合における ply よりもより正確な領域重複度の測定に適しているか？
• RQ2 A(R) は、クアッドツリーなどの近接構造の再構築時間の複雑さのタイトな下界であるか？
• RQ3 曖昧性は区間エントロピーおよび部分順序の線形拡張数とどのように関係しているか？
• RQ4 O(n log n) 時間の前処理を経て、ソートおよびクアッドツリーの再構築を O(A(R)) 時間で行えるか？
• RQ5 A(R) は効率的に近似可能であり、エントロピー計算の既存の境界を改善するか？

主な発見

• 曖昧性 A(R) は区間グラフエントロピーの定数倍近似であり、ソートおよび近接構造再構築の下界として Ω(A(R)) を与える。
• 区間で表現される不確かな点のソーティングは、O(n log n) の前処理後、Θ(A(R)) 時間で達成可能である。
• d 次元ユニットディスク上での 2-変形クアッドツリーの再構築は、提案された前処理を用いて Θ(A(R)) 時間で行える。
• A(R) の 3-近似は O(n log n) 時間で計算可能であり、実用的応用に適している。
• 区間グラフエントロピーの近似のための最先端技術を O(n^2.5) から O(n log n) に改善した。
• 本手法は、定数次元におけるユニットサイズの太陽凸領域へ一般化可能であり、O(A(R)) の再構築時間は維持される。