[論文レビュー] Preprocessing for Treewidth: A Combinatorial Analysis through Kernelization

Hans L. Bodlaender, Bart M. P. Jansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、パラメータ化複雑性からのカーネル化を用いて、木幅に対する前処理ルールの最初の厳密な理論的分析を提供する。木幅をフィードバック頂点集合（O(fvs(G)⁴) 頂点）や頂点被覆（O(vc(G)³) 頂点）でパラメータ化した場合、多項式カーネルが存在することを証明するが、クライークモジュレータや頂点被覆による重み付き木幅でのパラメータ化に関しては、NP ⊆ coNP/poly が成り立たない限り、多項式カーネルが存在しないことを示している。

ABSTRACT

The notion of treewidth plays an important role in theoretical and practical studies of graph problems. It has been recognized that, especially in practical environments, when computing the treewidth of a graph it is invaluable to first apply an array of preprocessing rules that simplify and shrink it. This work seeks to prove rigorous performance guarantees for such preprocessing rules, both known and new ones, by studying them in the framework of kernelization from parameterized complexity. It is known that the NP-complete problem of determining whether a given graph G has treewidth at most k admits no polynomial-time preprocessing algorithm that reduces any input instance to size polynomial in k, unless NP is in coNP/poly and the polynomial hierarchy collapses to its third level. In this paper we therefore consider structural graph measures larger than treewidth, and determine whether efficient preprocessing can shrink the instance size to a polynomial in such a parameter value. We prove that given an instance (G,k) of treewidth we can efficiently reduce its size to O(fvs(G)^4) vertices, where fvs(G) is the size of a minimum feedback vertex set in G. We can also prove a size reduction to O(vc(G)^3) vertices, where vc(G) is the size of a minimum vertex cover. Phrased in the language of parameterized complexity, we show that Treewidth has a polynomial kernel when parameterized by the size of a given feedback vertex set, and also by the size of a vertex cover. In contrast we show that Treewidth parameterized by the vertex-deletion distance to a single clique, and Weighted Treewidth parameterized by the size of a vertex cover, do not admit polynomial kernelizations unless NP is in coNP/poly.

研究の動機と目的

• 実用的な木幅計算に用いられる前処理ヒューリスティクスに対する理論的保証を提供すること。
• 効率的な前処理が、木幅よりも大きな構造的パラメータに関して、木幅のインスタンスを多項式サイズにまで縮小できるかどうかを分析すること。
• 特に単純なグラフクラスへのモジュレータに基づくパラメータ化における、木幅の多項式カーネルの存在を特定すること。
• カーネル化の限界を明確にし、多項式カーネルが存在しないと予想されるパラメータを同定すること。

提案手法

• パラメータ化複雑性からのカーネル化技術を用いて、木幅の前処理ルールを分析する。
• 木幅のパラメータ k の代わりに、フィードバック頂点集合のサイズや頂点被覆のサイズといった構造的パラメータを用いる。
• 木幅を保持するようにグラフを単純化する削減ルールを用いる。特に、次数 k+1 のほぼ単体的頂点に対する新しいルールを導入する。
• 素性部分グラフとモジュール分解の組み合わせ的解析を通じて、カーネルサイズの上限を証明する。
• エッジのないグラフやクリークなどのグラフクラスへのモジュレータの概念を適用し、問題をパラメータ化カーネル化の文脈に再定式化する。
• 小さな素性部分グラフにおける重み付き独立木幅のオракルを用いて、FPTアルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木幅の前処理ルールは、木幅よりも大きな構造的パラメータに関して、インスタンスサイズを多項式的に縮小できると形式的に保証できるか？
• RQ2 フィードバック頂点集合のサイズや頂点被覆のサイズでパラメータ化した場合、木幅に多項式カーネルが存在するか？
• RQ3 効率的な前処理が行われても、木幅に対して多項式カーネルが存在しない構造的パラメータは存在するか？
• RQ4 同じ技術を重み付き木幅に適用できるか？また、この変種におけるカーネル化の限界は何か？
• RQ5 グラフ構造（例えば、コグラフ、弦的グラフ、区間グラフへの距離など）は、多項式カーネル化の可能性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• フィードバック頂点集合のサイズでパラメータ化した場合、木幅はサイズ O(fvs(G)⁴) の多項式カーネルを有する。
• 頂点被覆のサイズでパラメータ化した場合、木幅はサイズ O(vc(G)³) の多項式カーネルを有する。
• 単一のクリークへの削除距離でパラメータ化した場合、木幅に多項式カーネルが存在しない（NP ⊆ coNP/poly が成り立たない限り）。
• 頂点被覆のサイズでパラメータ化した場合、重み付き木幅に多項式カーネルが存在しない（同じ仮定のもとで）。
• 既存の前処理ヒューリスティクスの実験的成功は、それらが形式的に有効なカーネル化ルールと整合していることから説明できる。
• 分析により、コグラフや弦的グラフへの距離といったパラメータは、多項式階層が崩壊しない限り、多項式カーネルを有しないことが明らかになった。