[論文レビュー] Presentations of Finite Simple Groups: Profinite and Cohomological Approaches

Robert M. Guralnick, William M. Kantor+2 more|ArXiv.org|Nov 18, 2007

Finite Group Theory Research参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、p-進群論と群コホモロジーの新しい相互作用を用いて、有限単純群および類似単純群の有界p-進提示とコホモロジー的境界を確立する。すべての有限類似単純群が2つの生成元と18個以下の関係式を持つp-進提示を持つことが示され、任意の体上の不可約で忠実なモジュールに対して、第二コホモロジー次元が18.5倍のモジュール次元で一様に有界であることが示される。

ABSTRACT

We prove the following three closely related results. The first is that every finite simple group has a profinite presentation with 2 generators and at most 18 relations. The second is that if G is a finite simple group, F a field and M an FG-module, then the dimension of the second cohomology group of G with coefficients in M is at most 17.5 times the dimension of M. The third result is that we may replace 17.5 by 18.5 as long as M is faithful irreducible G-module. These last two results answer conjectures of Holt.

研究の動機と目的

• 有限類似単純群のp-進提示における関係式の数に対する一様な境界を確立すること。
• 任意の体上の有限群 $ G $ とモジュール $ M $ に対して、第二コホモロジー群 $ H^2(G, M) $ の次元を有界化すること。
• 新しい双対性の議論を通じて、p-進提示理論と群コホモロジーを統合すること。
• 有限単純群の分類と構造的群論を用いて、以前の結果を改善した定数へと拡張すること。
• コホモロジィ的不変量を用いてp-進提示の複雑さを有界化するための枠組みを提供すること。

提案手法

• p-進関係ランク $ \hat{r}(G) $ とコホモロジィ的不変量の間の重要な公式を活用：$ \hat{r}(G) = \sup_p \sup_M \left( \left\lceil \frac{\dim H^2(G,M) - \dim H^1(G,M)}{\dim M} \right\rceil + d(G) - \xi_M \right) $。
• コホモロジー的境界の適用：類似単純群では $ \dim H^1(G,M) \leq \frac{1}{2} \dim M $、$ \mathbb{F}_p $ 上のモジュールでは $ \dim H^2(G,M) \leq 17.5 \dim M $ であり、これにより $ \hat{r}(G) \leq \max\{4, \lceil h'(G) + 1 \rceil\} $ が得られる。
• 主要因子に関する帰納法を用い、最小正規部分群 $ N $ を用いて $ G $ を分解し、Hochschild–Serreスペクトル系列と固定点の議論を用いて $ H^2(G, V) $ を分析する。
• Lemma 3.15 を適用し、特に $ N $ が初等アーベルの場合に $ \dim H^2(N,V)^G $ を $ \ell_p(N) $ と $ \dim V $ の関数として有界化することで、関係式の節約を図る。
• 非アーベル主要因子 $ L_i $ における $ \dim H^2(L_i, \mathbb{F}_p) $ の和である $ s_p(G) $ と、主要因子の総 $ p $-ランクである $ \ell_p(G) $ の概念を用いる。
• 一般の境界を導出：$ \dim H^2(G,V) \leq (18.5 + s_p(G) + h_{p,1}(G)\ell_p(G)) \dim V $、ただし $ h_{p,1}(G) \leq d(G)+1 $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限類似単純群は、群の位数に依存しない一様に有界な関係式数を持つp-進提示で表現可能か？
• RQ2 有限群と任意の体上の不可約で忠実な $ FG $-モジュール $ M $ に対して、$ \dim H^2(G,M)/\dim M $ の最良の一様境界は何か？
• RQ3 コホモロジィ的不変量をどのようにしてp-進提示の複雑さの境界を導出するのに用いるか？
• RQ4 $ \dim H^2(G,M) $ の境界は、主要因子やシュール乗数の構造にどの程度依存するか？
• RQ5 すべての有限群に対して、$ \hat{r}(G) \leq d(G) + C + s(G) + h_{1}(G)\ell(G) $ を満たす一様定数 $ C $ が存在するか？

主な発見

• すべての有限類似単純群は、正確に2つの生成元と18個以下の関係式を持つp-進提示を持つ。
• 任意の有限類似単純群 $ G $、任意の体 $ F $、および $ FG $-モジュール $ M $ に対して、$ \dim H^2(G,M) \leq 17.5 \cdot \dim M $ が成り立つ。
• 任意の有限群 $ G $、任意の体 $ F $、および不可約で忠実な $ FG $-モジュール $ M $ に対して、$ \dim H^2(G,M) \leq 18.5 \cdot \dim M $ が成り立つ。
• すべての有限群に対して $ \hat{r}(G) \leq d(G) + 18.5 + s(G) + h_{1}(G)\ell(G) $ が成り立ち、$ s(G) $ は非アーベル主要因子の数の2倍で有界である。
• アーベル的でない組成因子が存在しない群では、$ \hat{r}(G) \leq d(G) + 19 + 2s $ が成り立ち、ここで $ s $ は主要因子の数である。
• 組成因子に非自明なシュール乗数が存在しない場合には、$ \hat{r}(G) \leq d(G) + 19 $ が成り立ち、これは離散的およびp-進提示ランクの間の可能性のある差異を示唆している。