[論文レビュー] Presentations of linear monoidal categories and their endomorphism algebras

Bingyan Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、線形モノイダル圏を生成子と関係式によって体系的に提示する方法を確立し、これらの圏の等価な線形圏の提示の導出方法を示している。主な貢献は、モノイダル提示から自己準同型代数の提示を構成的に得る手続きであり、これにより、アフィンワープド代数などのよく知られた構造と同定可能な自己準同型代数の同定が可能になる。

ABSTRACT

We give the definition of presentations of linear monoidal categories. Our main result is that given a presentation of a linear monoidal category, we can produce a presentation of the same category as a linear category. We apply this result to endomorphism algebras of certain important linear monoidal categories.

研究の動機と目的

• 標準的な文献に欠落している概念として、線形モノイダル圏の提示の定式化を目的とする。
• 明示的な構成により、存在を保証する生成子と関係式からの自由線形モノイダル圏の構成を目的とする。
• モノイダル提示を線形圏の提示に体系的に変換し、圏的構造を保存する方法を提供することを目的とする。
• モノイダル圏の自己準同型代数を、線形圏の提示に還元することにより分析することを目的とする。
• アフィンワープド圏に属するような特定の自己準同型代数（例：アフィンワープド代数）を、導出された提示を用いて既知の結合的代数と同定することを目的とする。

提案手法

• 生成対象 $X$、生成射 $E$、関係 $R$ を用いて線形圏の提示を定義し、$\langle X, E, R \rangle$ と表記する。
• 自由線形モノイダル圏を、生成対象の集合 $X$ と生成射 $E$ に対して定義し、関係 $R$ をテンソルアイデアルとして課すことで、モノイダル版を導入する。
• 生成対象上の自由モノイド $M(X)$ を用いて、形式的テンソル積と関係を用いて自由線形モノイダル圏を明示的に構成する。
• モノイダル提示 $\langle X, E, R \rangle_{\otimes}$ から、線形圏の提示 $\langle M(X), \bar{E}, \bar{R} \rangle$ を導出する。ここで $\bar{E}$ は射 $1_v \otimes e \otimes 1_w$ からなる。
• $\bar{E}$ の射に対して交差法則を組み込み、関係 $R$ を $1_v \otimes r \otimes 1_w$ を通じて持ち上げることで、モノイダル構造を保存する。
• すべての生成射が自己準同型であるモノイダル生成代数にこの構成を適用し、自己準同型代数の提示を $\langle M(X), \bar{E}, \bar{R} \rangle$ により得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして生成子と関係式を用いて線形モノイダル圏の提示を形式的に定義できるか？
• RQ2 与えられた生成子と関係式から自由線形モノイダル圏を正確に構成する方法は何か？
• RQ3 生成子と関係式で提示された線形モノイダル圏を、同等の提示を持つ線形圏に再表現する方法は何か？
• RQ4 すべての生成射が自己準同型である場合、線形モノイダル圏の自己準同型代数の構造はどのようなものか？
• RQ5 アフィンワープド圏のような重要な線形モノイダル圏の自己準同型代数として、どのようなよく知られた結合的代数が生じるか？

主な発見

• 本稿では、生成対象の自由モノイド $M(X)$ を用いて、線形モノイダル圏の提示 $\langle M(X), \bar{E}, \bar{R} \rangle$ を線形圏として構成している。
• 射 $\bar{E}$ は $1_v \otimes e \otimes 1_w$ の形をとり、関係 $\bar{R}$ はテンソル単位の拡張と交差法則を介して $R$ から誘導される。
• 自己準同型生成子を持つモノイダル生成代数に対しては、自己準同型代数が $\langle M(X), \bar{E}, \bar{R} \rangle$ により提示され、代数的解析が可能になる。
• 自己準同型代数 $\operatorname{End}_{\mathcal{AW}(A)}(\uparrow^{\otimes d})$ は、アフィンワープド代数 $\Bbbk[x_1,\dots,x_d] \otimes A^{\otimes d} \otimes \Bbbk S_d$ に同型である。
• この同型は、テンソル積代数から自己準同型代数への全射線形写像として実現され、単射性は先行研究（Sav17, Theorem 4.6）で確立されている。
• この構成は、ワープド圏の量子的およびアフィン的バージョンへ一般化可能であり、カテゴライゼーションの文脈への応用範囲が拡張される。