[論文レビュー] Preserving Lagrangian structure in data-driven reduced-order modeling of large-scale dynamical systems

Harsh Sharma, Boris Kramer|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、大規模なラグランジュ系の構造を保った低次元モデル（ROM）を、フルオーダーモデル（FOM）の演算子やコードにアクセスせずに、軌道データから直接学習する非内挿的データ駆動型手法であるラグランジュ型作用素推論（L-OpInf）を提案する。この手法により、エネルギー保存則や対称的システム行列といった機械的構造を保持する高精度で安定したROMが得られ、保存的および非保存的系において、訓練データとは異なる初期条件や制御入力に対しても、長時間予測が可能で、頑健性を示す。

ABSTRACT

This work presents a nonintrusive physics-preserving method to learn reduced-order models (ROMs) of Lagrangian systems, which includes nonlinear wave equations. Existing intrusive projection-based model reduction approaches construct structure-preserving Lagrangian ROMs by projecting the Euler-Lagrange equations of the full-order model (FOM) onto a linear subspace. This Galerkin projection step requires complete knowledge about the Lagrangian operators in the FOM and full access to manipulate the computer code. In contrast, the proposed Lagrangian operator inference approach embeds the mechanics into the operator inference framework to develop a data-driven model reduction method that preserves the underlying Lagrangian structure. The proposed approach exploits knowledge of the governing equations (but not their discretization) to define the form and parametrization of a Lagrangian ROM which can then be learned from projected snapshot data. The method does not require access to FOM operators or computer code. The numerical results demonstrate Lagrangian operator inference on an Euler-Bernoulli beam model, the sine-Gordon (nonlinear) wave equation, and a large-scale discretization of a soft robot fishtail with 779,232 degrees of freedom. The learned Lagrangian ROMs generalize well, as they can accurately predict the physical solutions both far outside the training time interval, as well as for unseen initial conditions.

研究の動機と目的

• フルオーダーモデル（FOM）の演算子やソースコードにアクセスせずに、大規模なラグランジュ系の低次元モデル（ROM）を学習する非内挿的でデータ駆動型の手法を開発すること。
• スナップショットデータから純粋に得られるROMにおいても、エネルギー保存則や対称的システム行列といった、元のラグランジュ構造を保持すること。
• 保存的および非保存的系の両方において、訓練データの時間範囲や初期条件とは異なる状況に対しても、高精度な長時間予測と頑健な一般化性能を実現すること。
• 空間離散化やFOMの実装詳細の完全な知識が不要な、内挿的手法の軽量代替手法を提供すること。

提案手法

• フルオーダーモデルのラグランジュ構造を保つように制約を課した最適化問題を定式化し、低次元演算子を推定する。
• 既知の運動方程式（ただしその離散化は含まず）に基づいてラグランジュROMのパラメータ化を定義し、物理的解釈可能性を保証する。
• 時間積分によるシミュレーションから得た射影スナップショットデータを用いて、作用素推論によりROM演算子を学習し、システム行列の対称性と正定値性を維持する。
• 推定された演算子がオイラー＝ラグランジュ形式を満たすように制約を課すことで、システムの力学的構造を作用素推論フレームワークに埋め込む。
• 線形および非線形波動方程式、大規模なソフトロボットモデルを含む、半離散化されたPDEに本手法を適用し、軌道データのみを用いる。
• FOMの演算子にアクセスできない状況においても、ラグランジュ力学の変分原理を満たすように学習されたROMを保証することで、構造保存性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フルオーダーモデルの演算子やソースコードにアクセスできない状況でも、大規模な力学系の背後にあるラグランジュ構造を保ったデータ駆動型ROMを構築可能か？
• RQ2 学習されたROMは、訓練データの時間範囲を超える未観測の初期条件や時間区間に対し、どの程度一般化性能を示すか？
• RQ3 保存的および非保存的（例：外力作用、散乱系）なラグランジュ系において、エネルギー保存則と安定性を維持できるか？
• RQ4 精度、安定性、エネルギー追跡性能の観点から、非内挿的L-OpInf ROMは内挿的ROMと比べてどの程度優れているか？
• RQ5 例えば779,232自由度を持つソフトロボットフィッシュテイルモデルのような高次元系に対しても、本手法は効果的に適用可能か？

主な発見

• Euler-Bernoulliビームにおいて、L-OpInf ROMは訓練時間区間から大きく外れた範囲でも、エネルギー誤差が有界で安定した長時間予測を達成した。
• 非線形Sine-Gordon波動方程式では、非線形項の事前知識がなくても、スナップショットデータのみから正確にダイナミクスとエネルギー挙動を捉えた。
• 779,232自由度を持つソフトロボットフィッシュテイルモデルでは、時間変動する制御入力と散乱の下でも、システムエネルギーを正確に追跡した。
• 未観測の初期条件や滑らかでない駆動入力に対しても、相対誤差がステップ入力ケースで約10−2に安定するなど、頑健性を示した。
• 物理的構造を保持しつつ、顕著な状態次元の低減を達成したため、リアルタイム制御や状態推定に適した手法となった。
• 内挿的および非内挿的ROMの両方ともステップ入力ケースで一時的なエネルギーダイナミクスを捉えられなかったが、L-OpInf ROMは変位追跡においてわずかに優れた性能を示した。