[論文レビュー] Presto! Digitization, Part I: From NKS Number Theory to "XORbitant" Semantics, by way of Cayley-Dickson Process and Zero-Divisor-based "Representations"

de Marrais, P. C. Robert|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2006

Cognitive Computing and Networks被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非線形力学（CT）とネットワーク理論（NT）を、高次元代数におけるバイナリ表現を通じて結びつける画期的な数論的枠組みを提案する。Cayley-Dickson過程を用いて2^N-ionsを生成し、そのゼロ因子をBox-Kite形式で分析することで、複雑系を意味的豊かで特徴的なノードとしてモデル化し、フラクタルに似たパターンを明らかにするとともに、XORベースの演算とノルム分割を用いて、混沌、神話、表象の統一的意味論を実現する。

ABSTRACT

The objects of the great Nonlinear Revolutions - Catastrophes and Chaos in the 1960s-70s (henceforth, CT); and, small-world and scale-free Network Theory (NT), emerging quite recently - will be spliced together by a New Kind of Number Theory, focused on digitizations (i.e., binary strings). NT nodes then become feature-rich (nodules in a rhizosphere) of CT contents. The Box-Kite formalism of zero-divisors (ZD's) - first showing in the 16-D Sedenions, then in all higher 2^N-ions derived from Imaginaries by Cayley-Dickson Process (CDP) - can model such enriched nodules. Its (bit-string XOR-ing vs. matrix-multiplying) operations unfold into representations of the objects linked in CT with partitions of Nullity: Singularities. The route from here to fractals and Chaos, via CDP extensions to 2^N-ions for growing N, will involve us in graphics of higher-dimensional carry-bit overflow, as manifest in the mandala-like patterns of emanation tables (the rough equivalent, for ZD's, of group theorists' Cayley Tables). I'll lead into this with a quote about Hjelmslev's Net (which I'll claim is the CDP manque') from a famous postmodern text, Deleuze and Guattari's A Thousand Plateaus (where rhizosphere imagery arose). With strong assists from the CT-based structuralism of Jean Petitot, Algirdas Greimas's Semiotic Square will show us how to explicitly link CT to semiotic foundations via ZD representations, while the infinite-dimensional ZD meta-fractal or Sky where Box-Kites fly - first appearing in the 32-D Pathions and incorporating the higher 2^N-ions - will provide sufficient lebensraum for Levi-Strauss's Canonical Formula of mythwork to unfurl in. (These results serve to extend my NKS 2004 paper, available at the Wolfram Science website.)

研究の動機と目的

• 非線形科学に根ざした、デジタル化されたバイナリ文字列に基づく数体系を通じて、Catastrophe Theory（CT）とNetwork Theory（NT）を統合すること。
• ゼロ因子構造を用いて高次元代数に埋め込むことで、CT現象をルイゾスフィア的ネットワークにおける特徴豊かなノードとしてモデル化すること。
• 元来16次元Sedenionsに由来するBox-Kite形式を、より高い2^N-ionsへと拡張し、ノルム分割を用いて複雑な力学的ダイナミクスと特異点を表現すること。
• ゼロ因子表現をGreimasの四角形やLevi-Straussの神話作業の標準式といった象徴的構造と結びつけることで、混沌と神話の意味論的基盤を確立すること。
• 2^N-ionsにおける高次元のキャリービットオーバーフローのパターンが、マンダラに似た発光表を生成し、フラクタル的挙動を明らかにすることを示すこと。

提案手法

• Cayley-Dickson過程（CDP）を繰り返し適用して、複素数から出発し、四元数を経て32次元Pathionsまでを含む2^N-ionsを構築すること。
• 16次元Sedenionsおよびそれ以上の2^N-ionsにおけるゼロ因子（ZDs）を特定・分析するため、Box-Kite形式を用い、ネットワーク化されたシステム内のノードとしての構造的単位として扱うこと。
• CTダイナミクスをバイナリ文字列（デジタル化）として表現し、ビットストリングXOR演算を介してZD構造にマッピングすることで、従来の行列乗算の代わりにすること。
• ZD関係を可視化する「発光表」——群のCayley表に類似——を構築し、代数的演算における高次元キャリービットオーバーフローから生じるマンダラに似た、フラクタルに似たパターンを明らかにすること。
• Greimasの象徴的四角形やLevi-Straussの神話作業の標準式といった象徴的枠組みを、ZD表現空間に統合し、抽象的ダイナミクスを意味的構造に根拠づけること。
• DeleuzeとGuattariのルイゾスフィア比喩およびPetitotの構造主義的・アプローチを活用し、得られた代数的構造を動的で自己組織的システムとして解釈すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cayley-Dickson過程によって生成される2^N-ionsにおけるゼロ因子は、Catastrophe TheoryとNetwork Theoryにおける複雑系のモデル化に、どのように構造的単位として機能するか？
• RQ2 従来の行列乗算と比較して、ビットストリングXOR演算は、CTダイナミクスと特異点の表現において、どのような役割を果たすか？
• RQ3 2^N-ionsにおけるZD関係から導かれる発光表は、どのようにして高次元キャリービットオーバーフローに起因するフラクタルに似た、マンダラに似たパターンを生成するか？
• RQ4 32次元Pathions以降におけるBox-Kite形式は、Levi-Straussの神話作業の標準式の展開に十分な「生息空間」（lebensraum）を提供するか？
• RQ5 Greimasの四角形のような象徴的構造は、ゼロ因子表現内にどのように明示的に埋め込まれ、混沌理論と基盤的意味論を結びつけるか？

主な発見

• 元来16次元Sedenionsに観察されたBox-Kite形式は、Cayley-Dickson過程によって生成されるすべての高次2^N-ionsへと拡張可能であり、ゼロ因子の体系的分析を可能にする。
• CT現象のデジタル化バイナリ表現に対するビットストリングXOR演算は、ノードのモデル化において、行列乗算の代替として計算的に効率的かつ構造的洞察を提供する。
• 2^N-ionsにおけるZD関係を表す発光表は、代数的演算における高次元キャリービットオーバーフローに起因して、マンダラに似た、フラクタルに似たパターンを示す。
• 32次元Pathionsは、無限次元のZDメタフラクタル（「空」）が最初に現れる点であり、Box-Kiteが飛行可能なトポロジカル空間を提供する。
• Greimasの四角形やLevi-Straussの標準式といった象徴的枠組みは、ZD表現空間内で明示的に実現可能であり、混沌理論と神話的・言語的意味論を結びつける。
• 本フレームワークは、著者の2004年のNKS論文を拡張し、非線形力学とネットワーク構造を、デジタル化された数論に根ざした統一的代数的・意味的形式的体系に統合している。