[論文レビュー] Presymplectic manifolds

Bogusław Hajduk, R. Walczak|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、最大ランクの閉じた2形式を備えた奇数次元多様体としてのプレシンプレクティック多様体について、コhomologicalな制約なしに、プレシンプレクティック形式の空間と非退化2形式の空間の包含写像がホモトピー同値であることを示す基礎的結果を確立する。これにより変形技術や手術構成が可能となり、任意のプレシンプレクティック多様体が閉じたリーブ軌道上のリーブ手術によって単連結化可能であることが示され、任意の3次元多様体がプレシンプレクティック構造を持つことが示される。

ABSTRACT

A presymplectic structure on odd dimensional manifold is given by a closed 2-form which is nondegenerate, i.e., of maximal rank. We investigate geometry of presymplectic manifolds. Some basic theorems analogous to those in symplectic and contact topology are given and applied to study constructions of presymplectic manifolds. In particular, we describe how to glue presymplectic manifolds along a presymplectic submanifold, including surgery along a presymplectic circles.

研究の動機と目的

• 奇数次元多様体上のプレシンプレクティック構造のホモトピー的枠組みを確立すること。
• コhomologicalな制約なしに、プレシンプレクティック形式の空間が非退化2形式の空間とホモトピー同値であることを示すこと。
• リーブ foliation と閉軌道を用いたプレシンプレクティック多様体の手術理論を開発すること。
• 任意のプレシンプレクティック多様体がリーブ円周上の手術により単連結化可能であることを証明すること。
• プレシンプレクティック形式が正確な形式（すなわち、$\omega = d\alpha$）として実現可能かどうかの障害を調査し、接触構造との関係を明らかにすること。

提案手法

• 空間 $\Omega^+(\mathbb{R}^{2n}) \to \Omega(\mathbb{R}^{2n+1}) \to S^{2n}$ のファイブレーションを用いて、プレシンプレクティック形式の空間が単連結であることを証明する。
• グローモフの定理を用いて、$M \times \mathbb{R}$ 上の非退化2形式をシンプレクティック形式に変形し、$M \times \{0\}$ に制限することでプレシンプレクティック形式を得る。
• $M \times \mathbb{R}$ 上に $\phi = p^*\omega + \delta(d\theta \wedge \eta - \theta\,d\eta)$ というシンプレクティック形式を構成し、プレシンプレクティック形式の変形を実現する。
• 相対的変形定理を用いて、ホモトピー中にコンパクト集合の近傍でプレシンプレクティック構造を保つ。
• 古典的手術を、$S^{2n+1}$ をモデルとして用い、リーブ foliation の閉軌道である埋め込まれた円周に適用する。
• リーブバンドル $\mathcal{R} = \{V \in T_xM \mid \iota_V \omega = 0\}$ を特定し、それがリーブ foliation およびベクトル場を定義する役割を果たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomologicalな仮定なしに、プレシンプレクティック形式の空間への包含写像がホモトピー同値であるか？
• RQ2 任意のプレシンプレクティック多様体が、閉じたリーブ軌道上の手術により単連結化可能か？
• RQ3 プレシンプレクティック形式が接触型（すなわち、$\omega = d\alpha$）であるための障害は何か？
• RQ4 閉じた、ホモトピー的にシンプレクティックな多様体は、常にシンプレクティック形式を持つのか？
• RQ5 もし $M \times S^1$ がシンプレクティックであれば、$M$ は $S^1$ にフィブレーションするのか？

主な発見

• 任意のコhomology類 $a$ に対して、$\mathbb{S}_{\text{presymp}}(M,a) \hookrightarrow \mathcal{S}_{\text{non-deg}}(M)$ はホモトピー同値であり、$a$ が閉じていると仮定しない場合でも成り立つ。
• 閉じた奇数次元多様体上の最大ランクの2形式は、そのような形式のホモトピーを通じてプレシンプレクティック形式に変形可能である。
• 任意の向き付け可能な3次元多様体は、平行化可能であるため非退化2形式をもつことから、プレシンプレクティック構造を持つ。
• リーブ foliation に関する基本的コhomology類が消えることは、プレシンプレクティック形式が接触型であるための障害である。
• 閉じたリーブ軌道上のプレシンプレクティック手術により、$\pi_1(M)$ のホモトピー類を消去可能であり、すべての生成子がこのような軌道で表される場合、多様体は単連結になる。
• 任意の非退化2形式のホモトピー類と $a \in H^2(M,\mathbb{R})$ のコhomology類に対して、$\pi_1(M)$ の任意の有限集合の生成子を閉じたリーブ軌道として表すプレシンプレクティック形式がその類に属する。