[論文レビュー] Pretty good state transfer on double stars

Xiaoxia Fan, Chris Godsil|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二重星グラフ $S_{k,\ell}$ におけるかなり良い状態遷移（PGST）が成立するための条件を確立し、$\ell > 2$ のとき $S_{2,\ell}$ の端末頂点間でPGSTが成立すること、および $S_{k,k}$ の中心頂点間でPGSTが成立するのは $4k+1$ が完全平方でない場合に限ることを証明する。結果は、量子状態遷移と数論的条件との間の深い関係を示しており、パス以外のグラフ族におけるPGSTの既知の例を拡張する。

ABSTRACT

Let A be the adjacency matrix of a graph $X$ and suppose U(t)=exp(itA). We view A as acting on $\cx^{V(X)}$ and take the standard basis of this space to be the vectors $e_u$ for $u$ in $V(X)$. Physicists say that we have perfect state transfer from vertex $u$ to $v$ at time $τ$ if there is a scalar $γ$ such that $U(τ)e_u = γe_v$. (Since $U(t)$ is unitary, $ ormγ=1$.) For example, if $X$ is the $d$-cube and $u$ and $v$ are at distance $d$ then we have perfect state transfer from $u$ to $v$ at time $π/2$. Despite the existence of this nice family, it has become clear that perfect state transfer is rare. Hence we consider a relaxation: we say that we have pretty good state transfer from $u$ to $v$ if there is a complex number $γ$ and, for each positive real $ε$ there is a time $t$ such that $ orm{U(t)e_u - γe_v} < ε$. Again we necessarily have $|γ|=1$. Godsil, Kirkland, Severini and Smith showed that we have have pretty good state transfer between the end vertices of the path $P_n$ if and only $n+1$ is a power of two, a prime, or twice a prime. (There is perfect state transfer between the end vertices only for $P_2$ and $P_3$.) It is something of a surprise that the occurrence of pretty good state transfer is characterized by a number-theoretic condition. In this paper we study double-star graphs, which are trees with two vertices of degree $k+1$ and all other vertices with degree one. We prove that there is never perfect state transfer between the two vertices of degree $k+1$, and that there is pretty good state transfer between them if and only if $4k+1$ is a perfect square.

研究の動機と目的

• 二重星グラフ $S_{k,\ell}$ におけるかなり良い状態遷移（PGST）の存在を調査すること。ここで $S_{k,\ell}$ は、次数が $k+1$ と $\ell+1$ の2つの中心頂点を持つ木のクラスである。
• これらのグラフにおいて、端末頂点間または中心頂点間でPGSTが成立するかどうかを特定すること。
• PGSTのための数論的条件を確立すること。これは既知のパス $P_n$ の条件と類似している。
• いかなる二重星グラフでも完全状態遷移が成立しないが、PGSTは依然として成立しうることを示すこと。

提案手法

• グラフの隣接行列を $A$ とする連続時間量子ウォーク $U(t) = \exp(itA)$ を用いる。
• $U(t)$ の標準基底ベクトル $e_u$ および $e_v$ におけるダイナミクスを分析し、頂点 $u$ から $v$ への状態遷移を評価する。
• スペクトル分解と固有値解析を適用し、任意に小さい $\epsilon > 0$ に対して $\|U(t)e_u - \gamma e_v\| < \epsilon$ が成り立つような条件を同定する。
• 対称化された商グラフ技術を用いて、固有値が少ないより小さなシステムに問題を簡略化する。
• Kroneckerの近似定理を用いて、$\alpha$ が無理数のとき軌道が稠密であることを示し、望ましい状態遷移の近似を可能にする。
• $\overline{G}$（ユニタリ群の閉包）がコンパクトであり、PGSTが時間間隔における再帰を示唆することを証明することで、近似的な状態遷移の正規性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\ell > 2$ のとき、$S_{2,\ell}$ の端末頂点間でかなり良い状態遷移（PGST）が成立するか？
• RQ2 $S_{k,k}$ の2つの中心頂点間でPGSTが成立するのはどのような条件下か？
• RQ3 なぜいかなる二重星グラフでも完全状態遷移が成立しないのか？
• RQ4 パスにおける $n+1$ が2の冪または素数であるという条件と類似した、二重星グラフにおけるPGSTの数論的特徴づけは存在するか？
• RQ5 二重星グラフにおけるPGSTは、時間的に定期的な再発パターンを示唆するか？

主な発見

• いかなる $k$ と $\ell$ に対しても、二重星グラフ $S_{k,\ell}$ では完全状態遷移が成立しない。
• $\ell > 2$ のとき、$S_{2,\ell}$ の端末頂点間では、$\ell$ の値に関係なく、かなり良い状態遷移（PGST）が成立する。
• $k > 2$ のとき、$S_{k,k}$ の2つの中心頂点間では、$4k+1$ が完全平方でない場合に限りPGSTが成立する。
• $4k+1$ が完全平方である場合、系は周期的であり、固有値が $\pi$ の有理数倍であってもPGSTは成立しない。
• $S_{k,k}$ におけるPGSTの存在は、$4k+1$ が完全平方でないという数論的条件にのみ依存する。
• PGSTは、時間発展が概ね周期的であることを示し、任意の $\epsilon > 0$ に対して、長さ $T$ の各時間区間内に $U(t)$ がPGSTを達成する状態から $\epsilon$ 以内にある時刻 $t$ が存在することを意味する。