[論文レビュー] Pretty simple bounds on quantum state discrimination

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Quantum Information and Cryptography参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完璧な測定（PGM）が、最悪ケースの量子状態識別に対して効率的で明示的な解を提供することを示している：互いに異なる状態のペアワイズ同時性が1から離れている混合状態に対しては、失敗確率δを達成するのにO(log n / ε)個のコピーで十分である。純粋状態に対しては、成功確率がグラム行列Gの作用素ノルム∥G∥によって制限され、δの失敗確率を達成するにはÕ(∥G∥/ε)個のコピーが必要となる。∥G∥が小さい場合にはより鋭い境界が得られる。

ABSTRACT

We show that the quantum measurement known as the pretty good measurement can be used to identify an unknown quantum state picked from any set of $n$ mixed states that have pairwise fidelities upper-bounded by a constant below 1, given $O(\log n)$ copies of the unknown state, with high success probability in the worst case. If the unknown state is promised to be pure, there is an explicit measurement strategy which solves this worst-case quantum state discrimination problem with $\widetilde{O}(\|G\|)$ copies, where $G$ is the Gram matrix of the states.

研究の動機と目的

• 最悪ケースの量子状態識別に対する明示的で構成的な境界を提供し、非構成的最小最大定理を避ける。
• 完璧な測定（PGM）が、ペアワイズ同時性が有界な混合状態の識別において、近似的に最適なコピー複雑度を達成することを示す。
• 純粋状態識別におけるグラム行列ノルム∥G∥の依存性を確立し、∥G∥が小さい場合に改善されたスケーリングが可能になるようにする。
• 従来の平均ケース識別に関する結果を、特にランダムな純粋状態に対して最悪ケース設定に拡張する。
• ∥G∥に基づく境界を混合状態に拡張する際の限界を明確にし、それが常に成り立たないことを示す。

提案手法

• 未知状態のコピーに、Σ = ∑_i ρ_i であるμ_i = Σ^{-1/2} ρ_i Σ^{-1/2} で定義される完璧な測定（PGM）を適用する。
• 状態（またはその重み付き固有ベクトル）のグラム行列Gを用いて、PGMの成功確率を作用素ノルム∥G∥によって制限する。
• 純粋状態に対しては2段階プロトコルを採用：まずk = O(∥G∥ log(1/δ))個のコピーにPGMを適用して候補状態を特定し、次に射影測定により検証する。
• 結合確率と指数的尾部推定を用いて失敗確率δを制限し、異なる状態間の同時性制約（tr(ρ_i ρ_j) ≤ 1−ε）を用いる。
• Gのスペクトル的性質を用いて、μ_i ρ_iのトレースを評価し、∥G∥^{-1} ≤ tr(μ_i ρ_i) ≤ ∥G^{-1}∥ tr(ρ_i^2) を示す。
• ランダムな純粋状態（例えばハール分布または±1振幅状態）における∥G∥の振る舞いを分析し、n = O(d)のとき高確率で∥G∥ = O(1) となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完璧な測定（PGM）を用いて、既知の非構成的境界と一致するコピー複雑度を持つ、最悪ケースの量子状態識別を構成的に解くことができるか？
• RQ2 純粋状態のグラム行列の作用素ノルム∥G∥が、状態識別における成功確率および必要なコピー数にどのように影響するか？
• RQ3 ペアワイズ同時性が1−εで有界な混合状態に対して、PGMがO(log n / ε)のコピー複雑度を達成できるか？
• RQ4 ∥G∥が小さい場合に、純粋状態識別におけるコピー複雑度をnに対して非線形的（sub-linear）に抑えることは可能か？
• RQ5 ∥G∥に基づく境界を混合状態識別に拡張する際の限界は何か？どのような場合にそれらは失敗するのか？

主な発見

• 任意のn個の混合状態について、ペアワイズ同時性が1−ε以下である限り、PGMは失敗確率δを達成するためにO(log(n/δ)/ε)個のコピーで最悪ケース状態識別を解ける。
• 純粋状態に対しては、PGMを1つのコピーに適用することで、成功確率が少なくとも∥G∥^{-1}以上となる。ここでGは状態のグラム行列である。
• すべての純粋状態のペアワイズ内積が1−ε以下である場合、PGMを検証プロトコルと組み合わせることで、失敗確率δを達成するのにÕ(∥G∥/ε)個のコピーで問題を解ける。
• ランダムな純粋状態がd次元でn = O(d)のとき、高確率で∥G∥ = O(1) となるため、このような状況では定数のコピー複雑度が得られる。
• PGMは、∥G∥が小さい場合に混合状態に対して有用な境界を提供できない。例として、n個の最大混合状態では∥G∥ = 1だが成功確率は1/nであるため、PGMによる境界は役に立たない。
• 一定のペアワイズ内積cを持つ等角状態に対しては、∥G∥ = 1 + c(n−1) によりÕ(n)個のコピーが得られるが、より鋭い解析によりO(1)個のコピーで十分であることが示され、境界が常にタイトではないことがわかる。