[論文レビュー] Prevalence of non-uniform hyperbolicity at the first bifurcation of Hénon-like families

Hiroki Takahasi|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、強い散乱性を持つヘノン型写像について、一様な双曲性が内部的接点によって破壊される最初の分岐パラメータ $a^*$ において、Lebesgueほとんど至る初期点が無限大に発散すること、および $a^*$ の近傍のパラメータで、すべての不変なエルゴード的ボレル確率測度のリャプノフ指数がゼロから一様に離れていることを確立する。この結果は、この臨界的分岐点において非一様双曲性が広く成立することを裏付ける。

ABSTRACT

We consider the dynamics of strongly dissipative Hénon-like maps in the plane, around the first bifurcation parameter $a^*$ at which the uniform hyperbolicity is destroyed by the formation of homoclinic or heteroclinic tangencies inside the limit set. In [Takahasi H.: Commun. Math. Phys. {\bf 312} 37-85 (2012)], it was proved that $a^*$ is a full Lebesgue density point of the set of parameters for which Lebesgue almost every initial point diverges to infinity under forward iteration. For these parameters, we show that all Lyapunov exponents of all invariant ergodic Borel probability measures are uniformly bounded away from zero, uniformly over all the parameters.

研究の動機と目的

• 強い散乱性を持つヘノン型写像の最初の分岐における非一様双曲性の広がりを調査すること。
• 一様双曲性が内部的ホモクラインまたはヘテロクライン接点によって破壊されるパラメータ $a^*$ の近傍における力学的挙動を分析すること。
• Lebesgueほとんど至るパラメータについて、$a^*$ の近傍で初期点が無限大に発散すること、およびすべての不変エルゴード測度がゼロから一様に離れたリャプノフ指数を持つことを示すこと。
• 双曲性の喪失が内部的接点によって生じることを確立し、標準的なファイブレーションに基づく手法が適用不能となるため、新たな技術が要請されることを示すこと。

提案手法

• パラメータ $a$ に対して定義されたヘノン型写像 $f_a$ を、$f_a(x,y) = (1 - a x^2, 0) + b \cdot \Phi(a,b,x,y)$ で分析し、$0 < b \ll 1$ を満たす。
• 固定点の安定・不安定多様体の間で二次的接点が形成され、一様双曲性が破壊される最初の分岐パラメータ $a^*$ に注目する。
• 軌道を区間 $n_k < n < n_k + p_k$ に分解し、反復における不安定バンドルの成長を分析する。
• 導関数の特異値 $s(E^u)$ に対する推定を適用し、写像の均一な収縮・拡大性質を用いてリャプノフ指数を評価する。
• オセレデツの乗法的エルゴード定理を用い、不安定バンドルの成長とリャプノフ指数の関係を確立する。
• 反復的推定とヤコビアン行列式の均一な有界性を用いて、不安定部分空間上の微分作用素のノルムに一様な下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様双曲性が内部的接点によって破壊されるヘノン型族の最初の分岐において、非一様双曲性が広く成立するか？
• RQ2 パラメータ $a^*$ の近傍における不変エルゴード測度のリャプノフ指数の挙動はいかなるものか？
• RQ3 パラメータ $a^*$ の近傍で、リャプノフ指数に一様な下界を確立できるか？
• RQ4 接点の内部的性質（すなわち、接点の軌道が極限集合に含まれる）が力学的挙動および標準的分岐技法の適用可能性に与える影響は何か？

主な発見

• 十分に小さい $b>0$ に対して、$a^*$ は、Lebesgueほとんど至る初期点が正方向反復で無限大に発散するパラメータ集合のフル・レベッシュ密度点である。
• $a^*$ の近傍のすべてのパラメータで、すべての不変エルゴード的ボレル確率測度のリャプノフ指数がゼロから一様に離れている。
• 十分に小さい $\varepsilon>0$ に対して、集合 $\Omega_{a^*}(\varepsilon)$ は双曲的であることが、不安定バンドル上の導関数の特異値に対する均一な制御によって示された。
• 接点の軌道は一意的であり、極限集合に含まれるため、これは内部的接点分岐であり、外部的接点の場合に用いられる標準的なファイブレーションに基づくアプローチが無効であることを示す。
• 十分に大きな $n$ に対して、$\Omega_{a^*}(\varepsilon)$ 上のすべての $x$ に対して、不安定ノルムの成長が一様に指数関数的レート $\lambda^n$ で下から抑えられる（$\lambda>1$）。
• 証明は、戦略的帰納的帰属時間 $n_k$ の列を構成し、臨界領域 $I(\delta)$ に戻るまでの反復数 $p_k$ に対する均一な有界性を用いることで成り立つ。これにより、不安定ノルムの指数的成長が保証される。