[論文レビュー] Pricing and hedging of derivatives based on non-tradable underlyings

Stefan Ankirchner, Peter Imkeller+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Dec 21, 2007

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、二次的生成子を有する前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）を活用して、取引不能な標的資産に連動するデリバティブのための、ユーティリティベースの価格設定およびヘッジフレームワークを開発する。FBSDE解のマルコフ性および微分可能性を確立し、価格勾配に相関係数を乗じた形で明示的な最適ヘッジ戦略を導出する。これは、不完全市場における古典的デルタヘッジを一般化するものである。

ABSTRACT

This paper is concerned with the study of insurance related derivatives on financial markets that are based on non-tradable underlyings, but are correlated with tradable assets. We calculate exponential utility-based indifference prices, and corresponding derivative hedges. We use the fact that they can be represented in terms of solutions of forward-backward stochastic differential equations (FBSDE) with quadratic growth generators. We derive the Markov property of such FBSDE and generalize results on the differentiability relative to the initial value of their forward components. In this case the optimal hedge can be represented by the price gradient multiplied with the correlation coefficient. This way we obtain a generalization of the classical 'delta hedge' in complete markets.

研究の動機と目的

• 取引不能な標的資産（例：気象インデックス、保険損失インデックスなど）に基づくデリバティブの価格設定とヘッジの課題に対処すること。
• 指数的ユーティリティと不満価格を用いて、投資家のリスク選好を反映するユーティリティベースの価格設定フレームワークを構築すること。
• 相関する取引可能資産に投資することで、ベーシスリスクを最小限に抑えつつ期待ユーティリティを最大化する最適ヘッジ戦略を導出すること。
• 二次的生成子を有するFBSDE解のマルコフ性および微分可能性を保証する十分条件を確立し、最適ヘッジの明示的特徴付けを可能にすること。
• 取引不能な標的資産を有する不完全市場において、古典的ブラック・ショールズのデルタヘッジを勾配に基づくヘッジルールに一般化すること。

提案手法

• マルティングール最適性原理を用いて最適ヘッジ問題を定式化し、不満価格およびヘッジの表現を、二次的非線形性を有する前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）の解を介して得る。
• 取引不能な標的資産をマルコフ拡散過程としてモデル化し、相関する取引可能資産を相関拡散過程として扱い、FBSDEがユーティリティ最大化ポートフォリオのダイナミクスを捉える。
• 後向き成分（価値過程）が前向き過程の現在状態にのみ依存することを示すことにより、FBSDE解のマルコフ性を確立する。
• マリヤン・カレンスカルキュラスおよび確率的変動計算を用いて、前向き過程の初期条件に関する後向き成分の微分可能性を証明する。
• 最適ヘッジを、標的資産に関する価格勾配と、非取引可能資産と取引可能資産との間の相関係数の積として明示的に導出する。
• 多次元標的資産および複数の取引可能資産への応用を可能にするために、アプローチを一般化し、バスケットオプションやクラックスプレッドへの応用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関する取引可能資産と関連する取引不能な標的資産に基づくデリバティブのユーティリティベースの不満価格は、どのように計算可能か？
• RQ2 ユーティリティ最大化の文脈において、二次的生成子を有するFBSDE解のマルコフ性および微分可能性を保証する条件は何か？
• RQ3 取引不能な標的資産を有する不完全市場において、最適ヘッジ戦略はどのように明示的に特徴付けられるか？
• RQ4 標的資産が取引不能である場合、最適ヘッジは、古典的ブラック・ショールズのデルタヘッジをどのように一般化するか？
• RQ5 本フレームワークは、クラックスプレッドオプションのような応用を想定した、多次元標的資産および複数の相関する取引可能資産を扱えるか？

主な発見

• ユーティリティ不満価格および最適ヘッジは、二次的非線形性を有する二つのFBSDEの初期値および制御過程の差として表現される。
• FBSDE解のマルコフ性を保証する十分条件が提示され、時間に整合した価格設定およびヘッジを保証する。
• FBSDEの前向き成分が初期条件に関して微分可能であることが示され、勾配に基づくヘッジ戦略の実現が可能になる。
• 最適ヘッジは、非取引可能資産と取引可能資産との間の相関係数と、価格勾配の積として明示的に与えられ、古典的デルタヘッジを一般化する。
• 本フレームワークは多次元標的資産および複数の相関する資産を扱えるため、HJBに基づくアプローチが用いる単一資産モデルを越える。
• 終盤ペイオフおよび生成子に対してやや厳しい条件が課されない限り、パラメータ化された終値条件を有するBSDE解の微分可能性が確立され、頑健な感度分析が可能になる。