[論文レビュー] Pricing Financial Derivatives using Radial Basis Function generated Finite Differences with Polyharmonic Splines on Smoothly Varying Node Layouts

Slobodan Milovanović|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項調和スプライン（PHSs）と滑らかに変化するノード配置を用いて、金融デリバティブの価格設定のための改良された径数基底関数生成有限差分法（RBF-FD）を提案する。形状パラメータを排除し、密度に応じたノード配置による安定性の向上により、ブラック＝ショールズ＝ミートンモデル下での二資産バスケットオプションおよびヘストンモデル下でのヨーロピアンオプションの価格設定において、優れた収束性、精度、条件数を達成した。アメリカンオプションに対しても優れた性能を示した。

ABSTRACT

In this paper, we study the benefits of using polyharmonic splines and node layouts with smoothly varying density for developing robust and efficient radial basis function generated finite difference (RBF-FD) methods for pricing of financial derivatives. We present a significantly improved RBF-FD scheme and successfully apply it to two types of multidimensional partial differential equations in finance: a two-asset European call basket option under the Black--Scholes--Merton model, and a European call option under the Heston model. We also show that the performance of the improved method is equally high when it comes to pricing American options. By studying convergence, computational performance, and conditioning of the discrete systems, we show the superiority of the introduced approaches over previously used versions of the RBF-FD method in financial applications.

研究の動機と目的

• 金融PDEのRBF-FD法における不安定性と感度問題を解消するため、多項調和スプラインを用いて形状パラメータのチューニングを不要にする。
• ノード配置を滑らかに変化させる密度に応じた配置により、数値的条件数と収束性を向上させる。
• ヘストンモデルやマルチアセットバスケットなど複雑なモデル下での多次元オプション価格設定に適した、ロバストで高次元、メッシュフリーな方法を開発する。
• ヨーロピアンおよびアメリカンオプション、特に高次元問題に対しても本手法の有効性を実証する。
• 計算コストを伴うが、並列化可能でスケーラブルなフレームワークを提供し、標準的な有限差分法を上回る性能を発揮する。

提案手法

• 径数基底関数として多項調和スプライン（PHSs）を用い、形状パラメータの必要性を排除し、ステンシルの安定化を図る。
• 局所的RBF-FDアプローチを採用し、コンactなステンシルを用いることで、スパースな微分行列と計算効率を確保する。
• 問題の特徴（例：ストライク価格付近やボラティリティ境界）に応じてノードを適応的に集約するノード配置アルゴリズムを適用し、滑らかな密度関数を用いる。
• 各ステンシル上で局所的コロケーションを用い、微分作用素の近似を求めるために小規模な線形方程式系を解く。
• RBF近似における多項式補完を用いて、形式的収束次数を制御し、精度を向上させる。
• 境界条件は近接領域および遠隔領域のノードの組み合わせを用い、不連続な終値条件に対しても特別な処理を施す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項調和スプラインは、金融PDEのRBF-FD法において形状パラメータのチューニングを不要にすることができるか？
• RQ2 滑らかに変化するノード配置は、オプション価格設定におけるRBF-FDスキームの条件数と収束性をどのように改善するか？
• RQ3 本手法は、線形補完問題を含むアメリカンオプションに対しても高い精度と安定性を維持できるか？
• RQ4 ヘストンモデルおよびマルチアセットモデル下で、標準的な有限差分スキームと比較して、本手法のパフォーマンスと精度はどのように異なるか？
• RQ5 計算重みの算出コストを伴うが、並列アーキテクチャ上でも本手法は効果的にスケーリング可能か？

主な発見

• 多項調和スプラインを用いたRBF-FD法は、形状パラメータの選択を必要とせず、安定的かつ高精度な結果を達成し、大幅にロバスト性が向上した。
• 滑らかに変化するノード配置により、微分行列の条件数が著しく低下し、ヘストンモデル下で直交格子配置では10^7であったのに対し、滑らかな配置では10^4にまで低下した。
• 最適な収束レートを達成し、ノード数N ≈ 1000の場合に誤差がO(1/√N)のオーダーで減少した。直交格子および適応的配置よりも精度と速度で優れた性能を示した。
• 滑らかなノード配置により、ヘストン作用素下でも安定した計算が可能であったが、バスケットオプション向けに設計された適応的配置は、密度の不連続な変化のため失敗した。
• 計算パフォーマンスは標準的な有限差分法を上回り、並列化可能な重み計算のおかげで、マルチコアシステム上ではその優位性がさらに顕著になった。
• アメリカンプットバスケットオプションの価格設定においても、ヨーロピアンオプションと同等の精度と効率を達成し、広範な適用可能性を示した。