[論文レビュー] Pricing, Hedging and Optimally Designing Derivatives Via Minimization of Risk Measures

Pauline Barrieu, Nicole El Karoui|London School of Economics and Political Science Research Online (London School of Economics and Political Science)|Aug 7, 2007

Risk and Portfolio Optimization参考文献 6被引用数 123

ひとこと要約

本稿では、凸リスク測度の最小化によってデリバティブの価格設定・ヘッジ・最適設計を実現するフレームワークを提案する。効用最大化からリスクに基づく最適化へと移行する。非取引可能リスクを有する不完全市場においても、最適リスク移転が凸リスク測度のインフラ・コンボリューションを用いて解けることが確立され、拡張または正則化された条件下で明示的解が得られる。

ABSTRACT

The question of pricing and hedging a given contingent claim has a unique solution in a complete market framework. When some incompleteness is introduced, the problem becomes however more difficult. Several approaches have been adopted in the literature to provide a satisfactory answer to this problem, for a particular choice criterion. In this paper, in order to price and hedge a non-tradable contingent claim, we first start with a (standard) utility maximization problem and end up with an equivalent risk measure minimization. This hedging problem can be seen as a particular case of a more general situation of risk transfer between different agents, one of them consisting of the financial market. In order to provide constructive answers to this general optimal risk transfer problem, both static and dynamic approaches are considered. When considering a dynamic framework, our main purpose is to find a trade-off between static and very abstract risk measures as we are more interested in tractability issues and interpretations of the dynamic risk measures we obtain rather than the ultimate general results. Therefore, after introducing a general axiomatic approach to dynamic risk measures, we relate the dynamic version of convex risk measures to BSDEs.

研究の動機と目的

• 従来のアービトレッジフリー価格設定が失敗する不完全市場における継続的クレームの価格設定とヘッジの課題に対処すること。
• 指数的効用に基づくインDIFFERENCE価格設定を、キャッシュ翻訳不変性や凸性といった重要な経済的性質を保持する凸リスク測度枠組みに再定式化すること。
• 金融市場や保険会社を含むエージェント間の最適リスク移転の一般化手法を開発すること。問題を凸リスク測度のインフラ・コンボリューションに還元する。
• BSDEおよび正則化技術を用いて、静的および動的ヘッジ問題の構成的解を提供すること。
• 動的凸リスク測度を後向き確率微分方程式（BSDE）に結びつけることで、取り扱いやすさと解釈可能性を確保すること。

提案手法

• 確実性等価を凸汎関数として用い、効用ベースのインDIFFERENCE価格設定問題をリスク測度最小化枠組みに変換する。
• 2人のエージェント間の最適リスク移転をモデル化するため、インフラ・コンボリューション演算を適用し、問題を両者のリスク測度の和の最小化に還元する。
• 凸関数の拡張を用いることで、追加の制約なしに正確なインフラ・コンボリューション解を得る。
• 二次関数および線形カーネルとのインフラ・コンボリューションを用いて、モア・ヨシダおよびリプシッツ正則化を実施し、微分可能性と安定性を確保する。
• 動的凸リスク測度を後向き確率微分方程式（BSDE）の解に結びつけ、時間に整合したリスク評価を可能にする。
• 特に、部分微分の交差が空でない場合に、部分微分の微積分学的特徴付けを用いて最適解を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不完全市場におけるインDIFFERENCE価格設定を、効用最大化から凸リスク測度に再定式化することは可能か？
• RQ2 非取引可能リスクを有する2人のエージェント間で、最適リスク移転の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 どのような場合に2つの凸リスク測度のインフラ・コンボリューションが正確な解をもたらし、その解を明示的に計算できるか？
• RQ4 動的リスク測度をどのように構築し、BSDEに結びつけることで、時間整合性と取り扱いやすさを確保できるか？
• RQ5 モア・ヨシダのような正則化技術が、リスク最小化問題における微分可能性および数値的安定性をどのように保証するか？

主な発見

• 指数的効用から導かれる確実性等価は、キャッシュ翻訳不変性を満たす凸リスク測度であり、より広範なリスク測度クラスへの一般化に適している。
• 両方のリスク測度が共通の基本関数から拡張されている場合、そのインフラ・コンボリューションは正確であり、閉形式の解が得られる：$ g^A \square g^B = g_{\gamma_A + \gamma_B} $。
• 1つの関数が下界で有界であり、もう1つの関数が再発関数を用いた資格条件を満たす場合、インフラ・コンボリューション問題の最適解が存在する。
• 2つの関数のゼロ点における部分微分の交差が空でない場合、インフラ・コンボリューションはゼロで正確であり、両関数が中心化されている場合、結果も中心化される。
• モア・ヨシダ正則化によりリスク測度の微分可能性が保証され、勾配は $ \nabla g_{[k]} = k(z - J_k(z)) $ で与えられ、リゾルベント $ J_k(z) $ は1-Lipschitzである。
• カーネル $ b_k(z) = k|z| $ を用いたリプシッツ正則化により、凸的かつリプシッツ連続な関数が得られ、定義内点において関数の元に戻る点ごとの収束が成立する。