[論文レビュー] Pricing Interest Rate Derivatives under Volatility Uncertainty

Julian H olzermannBielefeld University|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、G・ブラウン運動を用いて確率的ボラティリティをモデル化することで、ボラティリティの不確実性下での金利デリバティブの価格設定のためのロバストなフレームワークを開発する。前方非線形期待値を導入してロバストな価格設定式を導出し、ボラティリティの不確実性が、単一の価格ではなく価格の範囲を生じさせ、スプライスされない確率的ボラティリティをもたらすことを示している。

ABSTRACT

We study the pricing of contracts in fixed income markets in the presence of volatility uncertainty. The starting point is an arbitrage-free bond market under volatility uncertainty. The uncertainty about the volatility is modeled by a G-Brownian motion, which drives the forward rate dynamics. The absence of arbitrage is ensured by a drift condition. Such a setting leads to a sublinear pricing measure for additional contracts, which yields either a single price or a range of prices. Similar to the forward measure approach, we define the forward sublinear expectation to simplify the pricing of cashflows. Under the forward sublinear expectation, we obtain a robust version of the expectations hypothesis and we show how to price bond options. In addition, we develop pricing methods for contracts consisting of a stream of cashflows, since the nonlinearity of the pricing measure implies that we cannot price a stream of cashflows by pricing each cashflow separately. With these tools, we derive robust pricing formulas for all major interest rate derivatives. The pricing formulas provide a link to the pricing formulas of traditional models without volatility uncertainty and show that volatility uncertainty naturally leads to unspanned stochastic volatility.

研究の動機と目的

• 市場実務において一般的に見られるボラティリティの不確実性がある状況下で、固定利付デリバティブをどのように価格設定するかという課題に取り組む。
• 標準ブラウン運動の一般化としてボラティリティの曖昧性を許容するG・ブラウン運動を用いて、ボラティリティの不確実性をモデル化する。
• 非線形期待値下でのフォワードレートダイナミクスにドリフト条件を課すことにより、アービッジの不在を保証する。
• 加法的価格設定の制限を克服するため、非線形価格測度下でのキャッシュフロー・ストリームの体系的な価格設定手法を開発する。
• 従来のモデルと関連付ける一方でボラティリティの不確実性の影響を捉える、主要な金利デリバティブのロバスト価格設定式を導出する。

提案手法

• G・ブラウン運動によるボラティリティの不確実性のモデル化により、モデルの曖昧性を表現する非線形期待値フレームワークを導入する。
• キャッシュフローの価格設定を簡素化するために、曖昧性下でのフォワード測度にナマラルをシフトする前方非線形期待値を定義する。
• 非線形期待値下での期待値仮説のロバスト版を確立し、フォワードレートが必ずしもマルティンゲールでないが、非線形版を満たすことを示す。
• G・ブラウン運動下でのフォワードレートのダイナミクスと前方非線形期待値を用いて、ボンド・オプションの明示的価格設定式を導出する。
• 非線形性のため、個々の割引価値の和として扱うのではなく、キャッシュフロー・ストリームを全体として扱うことで、価格設定の分解法を開発する。
• ボラティリティの不確実性が消失する場合に、ロバスト価格設定式が標準的な式に還元されることを示すことにより、古典的モデルと接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボラティリティが正確に特定できないが範囲内に存在する場合、どのように金利デリバティブをロバストに価格設定できるか？
• RQ2 ボラティリティの不確実性下で、フォワード測度と期待値仮説の適切な一般化は何か？
• RQ3 非線形期待値測度の非線形性は、加法的価格設定と比較して複数のキャッシュフローの価格設定にどのように影響するか？
• RQ4 ボラティリティの不確実性は、金利デリバティブにおいてどのようにスプライスされない確率的ボラティリティをもたらすか？
• RQ5 ボラティリティの曖昧性のない古典的モデルにおける金利デリバティブの価格設定式と、ロバスト価格設定式はどのように関係しているか？

主な発見

• G・ブラウン運動の使用により、ボラティリティの不確実性を一貫してモデル化でき、単一の価格ではなく価格の範囲を生成する非線形価格測度を導く。
• 前方非線形期待値により、フォワード測度下でフォワードレートが非線形マルティンゲールであるロバストな期待値仮説のバージョンが可能になる。
• 非線形フレームワーク下でボンド・オプションの価格設定が明示的に導出され、古典的ブラック・モデルと比較してボラティリティの不確実性下ではオプション価格が高くなることが示された。
• 非線形期待値測度の非線形性により、キャッシュフロー価格設定の加法性が破綻し、モデルリスクを回避するためにはキャッシュフロー・ストリームを統合的に取り扱う必要がある。
• ボラティリティの不確実性が弱まるとき、金利デリバティブのロバスト価格設定式は古典的式に還元され、既存のモデルと整合性を示す。
• ボラティリティの不確実性は自然にスプライスされない確率的ボラティリティをもたらし、フォワードレートのボラティリティが基礎資産の債券取引のみでは完全にヘッジできないことを意味する。