[論文レビュー] Pricing of average strike Asian call option using numerical PDE methods

Abhishek Kumar, Ashwin Waikos+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、算術平均行使価格アジア・コール・オプションの価格付けのための新しい数値的PDEアプローチを提案する。Crank-Nicolson陰解法と高次コンパクト有限差分法を用いる。結果は、両方のPDE手法がモンテカルロシミュレーションと密接に一致する価格を生成することを示しており、特に低ボラティリティ条件下で高次コンパクト法が優れた精度を示している。これは、平均行使価格アジア・オプションに対するPDE手法の最初の既知の応用である。

ABSTRACT

In this paper, a standard PDE for the pricing of arithmetic average strike Asian call option is presented. A Crank-Nicolson Implicit Method and a Higher Order Compact finite difference scheme for this pricing problem is derived. Both these schemes were implemented for various values of risk free rate and volatility. The option prices for the same set of values of risk free rate and volatility was also computed using Monte Carlo simulation. The comparative results of the two numerical PDE methods shows close match with the Monte Carlo results, with the Higher Order Compact scheme exhibiting a better match. To the best of our knowledge, this is the first work to use the numerical PDE approach for pricing Asian call options with average strike.

研究の動機と目的

• 算術平均行使価格アジア・コール・オプションという、パス依存型のペイオフを持つオプションの価格付けのための数値的PDE手法を開発・実装すること。
• モンテカルロ・シミュレーションの計算上の制限と不確実性を克服するため、PDEに基づく代替手法を導入すること。
• ベンチマークとしてのモンテカルロ・シミュレーションと比較して、2つの数値的スキーム（Crank-Nicolson陰解法と高次コンパクト法）の性能と精度を評価すること。
• 数値的PDE手法が、従来モンテカルロ法が支配的であった平均行使価格アジア・オプションの分野に有効に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 本稿では、比変数 $ R(t) = \frac{1}{S(t)} \int_0^t S(u) du $ を用いてオプション価格の逆方向PDEを導出することで、三次元問題を $ R $ に関する一次元PDEに簡略化する。
• 変換されたPDEは $ \frac{\partial H}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 R^2 \frac{\partial^2 H}{\partial R^2} + (1 - rR) \frac{\partial H}{\partial R} = 0 $ であり、適切な最終条件および境界条件を伴う。
• 2次精度のCrank-Nicolson陰解法と、4次精度の高次コンパクト有限差分スキームが、PDEの数値的解法として実装されている。
• 解 $ H(R, t) $ は均一グリッド上で計算され、オプション価格は $ V(S(0), R(0), 0) = S(0) H(R(0), 0) $ として回復される。
• 妥当性の検証のため、50,000本のパスを用いたモンテカルロ・シミュレーションがベンチマークとして用いられ、割引されたペイオフの平均値が計算される。
• 性能は、精度（モンテカルロとの比較）および計算効率（CPU時間）の観点から評価される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値的PDE手法は、パス依存型のレア・オプションである平均行使価格アジア・コール・オプションの価格付けに有効に適用可能か？
• RQ2 この価格設定問題において、Crank-Nicolson陰解法と高次コンパクト法の間で、精度と効率性にどのような差が生じるか？
• RQ3 リスクフリー金利とボラティリティが変化する条件下でも、PDEベースの結果はベンチマークのモンテカルロ・シミュレーション結果とどの程度一致するか？
• RQ4 高次コンパクト法は、2次精度のCrank-Nicolson法よりも、平均行使価格アジア・オプションの価格設定において、より高い精度を示すか？

主な発見

• Crank-Nicolson陰解法は、モンテカルロ結果と密接に一致するオプション価格を生成した。CPU時間は0.5秒未塔であり、モンテカルロの4秒以上を大幅に上回る高速性を示した。
• 高次コンパクト法は、Crank-Nicolson法よりもモンテカルロ結果との一致がさらに良好であり、特に低ボラティリティ条件下（例：σ = 0.05）で顕著であった。
• r = 0.06, 0.1, 0.2 および σ = 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 のすべての組み合わせについて、PDE手法はモンテカルロベンチマークと強い一貫性を示した。
• 高次コンパクト法は4次空間精度を達成しており、2次精度のCrank-Nicolson法よりもより正確なオプション価格推定値を提供した。
• 両PDEスキームの計算コストはモンテカルロに比べて著しく低く、CPU時間は常に0.5秒未塔であったのに対し、モンテカルロは4秒以上を要した。
• 著者らの知る限り、これは平均行使価格アジア・コール・オプションに対する数値的PDE手法の最初の応用であり、この種のレア・オプションの分野における新たなベンチマークを確立した。