[論文レビュー] Pricing options with VG model using FFT

Andrey Itkin|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、バリアンス・ガンマ（VG）モデル下でのヨーロピアン・オプションの価格設定のための数値的手法を評価し、広く用いられているCarr-MadanのFFT法が特定のパラメータ値では失敗することを特定した。本稿では、すべてのVGパラメータで精度と収束性を維持する、ロバストな代替手法2つ——Lewisの正則化法とブラック・ショールズに類似した手法——を提案・検証した。これらの手法はFFTと同等の性能を発揮するが、爆発（blowup）の問題が生じない。

ABSTRACT

We discuss various analytic and numerical methods that have been used to get option prices within a framework of the VG model. We show that some popular methods, for instance, Carr-Madan's FFT method could blow up for certain values of the model parameters even for an European vanilla option. Alternative methods - one originally proposed by Lewis, and Black-Scholes-wise method are considered that seem to work fine for any value of the VG parameters. Test examples are given to demonstrate efficiency of these methods. Convergency of all methods is also discussed.}

研究の動機と目的

• バリアンス・ガンマ（VG）モデル下でのヨーロピアン・オプションの価格設定における数値的手法の信頼性と収束性を調査すること。
• 標準的なバニラ・オプションに対しても、特定のVGパラメータ設定下でCarr-MadanのFFT法が失敗するケースを同定すること。
• すべてのパラメータ領域で安定性と精度を維持する代替手法——Lewisの正則化法とブラック・ショールズに類似した手法——を評価すること。
• テストケースを用いて、すべての手法の収束性、計算効率、数値的ロバスト性を比較すること。
• 実務的応用を踏まえた、経験的性能と安定性に基づく、VGフレームワークにおけるロバストなオプション価格設定の推奨手法を提示すること。

提案手法

• 時間変換付きブラウン運動を用いて導出されたVG過程の特性関数を用い、フーリエベースのオプション価格設定を可能にする。
• ドレインプド・コール・オプション価格のフーリエ変換を逆転するため、計算効率を高めるためにCarr-MadanのFFT法を適用する。
• 複素数シフトを用いた特性関数の積分表現を用いることで収束性を向上させる、Lewisの正則化法を実装する。
• ブラック・ショールズ成分を解析的に差し引くことで、FFT誤差を低減する、ブラック・ショールズに類似した手法を開発する。
• さまざまなグリッドサイズ（N = 256 から 8192）を用いた数値積分とFFTを用い、各手法の収束性と誤差挙動を評価する。
• 異なるVGパラメータ（σ, ν, θ）と満期（T）を有する標準化されたテストケースを用いて、計算時間と精度を各手法間で比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Carr-MadanのFFT法は、VGモデル下でのヨーロピアン・オプション価格設定において、どのような条件下で失敗するか？
• RQ2 異なるVGパラメータセットにおいて、Lewisの正則化法とブラック・ショールズに類似した手法の収束速度と数値的安定性は、FFT法と比べてどうか？
• RQ3 ブラック・ショールズに類似した手法は、FFTと同等の精度と性能を達成しつつ、爆発（blowup）の問題を回避できるか？
• RQ4 Lewis法における複素数シフトパラメータμ₁の選択が、収束性と切り捨て誤差（truncation error）に与える影響は？
• RQ5 3つの手法の計算時間は、ストライク数とモデルパラメータの数に伴い、どのようにスケーリングされるか？

主な発見

• Carr-MadanのFFT法は、特定のVGパラメータ値では、標準的なヨーロピアン・バニラ・オプションに対しても、特性関数の逆転における不安定性のため、爆発（blowup）を示すことがある。
• Lewisの正則化法とブラック・ショールズに類似した手法は、テストされたすべてのVGパラメータで安定した収束性を示し、爆発は観測されなかった。
• ブラック・ショールズに類似した手法は、主要な項を正確な解析解に置き換えることでFFT誤差を低減し、精度を向上させた。
• Lewis法とブラック・ショールズに類似した手法の収束挙動は類似しており、一方Carr-Madan法は、アウト・オブ・ザ・マネー・オプションにおいてNが小さい（例：N=256）場合に収束が速い。
• 計算時間の観点から、Lewis法はCarr-Madan法と同等の速さ（0.031–0.047秒）を示したが、ブラック・ショールズに類似した手法は約2倍遅く（0.062–0.078秒）であったが、依然として効率的であった。
• Lewis法の性能はμ₁の選択に極めて依存しており、最適でない値を採用すると、大きな切り捨て誤差や離散化誤差が生じるため、パラメータ依存のチューニングが必要である。