[論文レビュー] Pricing Spread Options under Stochastic Correlation and Jump-Diffusion Models

Olivares, Pablo, Cane, Matthew|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的相関、確率的ボラティリティ（CIR）およびジャンプ・ディフュージョン過程を伴う多変量モデル下でのスプレッド・オプションの価格設定に対して、二変量高速フーリエ変換（FFT）を用いた高速かつ高精度な手法を提案する。2つの共通正規分布ジャンプおよび確率的ボラティリティモデルの特性関数を導出することで、モンテカルロ法に比べて計算効率が桁違いに向上し、ボラティリティ・スミルや相関スミルといった複雑な市場特徴を捉えることが可能となる。

ABSTRACT

This paper examines the problem of pricing spread options under some models with jumps driven by Compound Poisson Processes and stochastic volatilities in the form of Cox-Ingersoll-Ross(CIR) processes. We derive the characteristic function for two market models featuring joint normally distributed jumps, stochastic volatility, and different stochastic dependence structures. With the use of Fast Fourier Transform(FFT) we accurately compute spread option prices across a variety of strikes and initial price vectors at a very low computational cost when compared to Monte Carlo pricing methods. We also look at the sensitivities of the prices to the model specifications and find strong dependence on the selection of the jump and stochastic volatility parameters. Our numerical implementation is based on the method developed by Hurd and Zhou (2009).

研究の動機と目的

• ブラック・ショールズモデルが実証的市場特徴（ボラティリティ・スミルやジャンプなど）を捉えられていないという限界を是正すること。
• 多変量設定下で、確率的相関とジャンプ・ディフュージョンダイナミクスを両方組み込んだ既存モデルの拡張を図ること。
• これらの複雑なダイナミクス下でのスプレンド・オプション価格設定のための効率的な計算フレームワークの開発。
• FFTベースの手法と従来のモンテカルロシミュレーションの性能および精度を比較すること。
• オプション価格がジャンプおよび確率的ボラティリティ成分に特に敏感であるかを分析すること。

提案手法

• 共通正規分布ジャンプ、CIR確率的ボラティリティ、および異なる確率的依存構造を持つ2つの多変量市場モデルの特性関数を導出する。
• ハードとゾウ（2009）の二変量逆フーリエ変換法を、ジャンプおよび確率的相関を含むモデルに適応する。
• 2次元グリッド上で高速フーリエ変換（FFT）を用いて、スプレッド・オプション価格を効率的に計算する。
• 切断誤差と離散化誤差を制御するため、減衰パラメータおよび最適ステップサイズアルゴリズムを用いる。
• ベンチマークパラメータセットを用いてモデルをキャリブレーションし、モンテカルロシミュレーションとの結果を検証する。
• FFTパラメータ（例：減衰、ステップサイズ、切断区間）に対する感度の数値的チェックを実施し、妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的相関およびジャンプ・ディフュージョンダイナミクスの組み込みが、標準モデルと比較してスプレッド・オプションの価格にどのように影響を与えるか？
• RQ2 ジャンプおよび確率的ボラティリティを伴う複雑な多変量モデル下でも、FFTベースの手法が高精度かつ高速にスプレッド・オプションを価格設定できるか？
• RQ3 オプション価格はジャンプサイズの分散、ジャンプ強度、および確率的ボラティリティパラメータの変動に対してどの程度感受性を示すか？
• RQ4 これらのモデル下で、二変量FFT実装の数値的安定性および誤差特性はいかなるものか？
• RQ5 モデルが導くインプライド・ボラティリティおよび相関スミルは、観察された市場パターンとどのように一致するか？

主な発見

• FFTベースの手法は、モンテカルロ法に比べて高精度かつ著しく低い計算コストでスプレッド・オプション価格を算出可能である。
• オプション価格はジャンプサイズ分散に非線形的に上昇し、ジャンプ分散が0.02から0.2に上昇した際、価格は40％上昇した。
• 長期資産のジャンプ分散が短期資産のそれよりもオプション価格に大きな影響を及ぼす。これは、スプレッド分布に与える影響の大きさによる。
• モデルはジャンプおよび確率的ボラティリティパラメータに対して強く感受性を示しており、正確なキャリブレーションが不可欠であることを示している。
• FFTのステップサイズおよび切断区間の変更に対しても、価格変動が最小限に抑えられ、Nおよび ūmin の値にかかわらず安定している。
• 減衰パラメータ（ε）は全体的にわずかな影響しか示さないが、ε₁ - ε₂ - 1 < 0.2 である場合に誤差が顕在化し、不安定性の狭い範囲が存在することが示された。