[論文レビュー] Primal dual methods for Wasserstein gradient flows

José A. Carrillo, Katy Craig+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 79被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、最適輸送理論とオペレータ分割を組み合わせることで、多孔質媒体、材料科学、生物学的群れ行動に現れる非線形で非局所的なPDEを解くための、画期的なプリマル・デュアル数値法を提案する。時間離散化にはJKOまたはクランク・ニコルソン型スキームを用い、ワッサースタイン距離のベナム＝ブレニエ動的定式化を介して問題を再定式化し、凸最小化問題として解く。線形制約を伴うこの問題に対して、収束が保証されたプリマル・デュアルアルゴリズムを適用することで、安定性、質量保存、正値性、エネルギー減少性を達成し、シミュレーションでは高次の収束を実現する。

ABSTRACT

Combining the classical theory of optimal transport with modern operator splitting techniques, we develop a new numerical method for nonlinear, nonlocal partial differential equations, arising in models of porous media, materials science, and biological swarming. Our method proceeds as follows: First, we discretize in time, either via the classical JKO scheme or via a novel Crank-Nicolson type method we introduce. Next, we use the Benamou-Brenier dynamical characterization of the Wasserstein distance to reduce computing the solution of the discrete time equations to solving fully discrete minimization problems, with strictly convex objective functions and linear constraints. Third, we compute the minimizers by applying a recently introduced, provably convergent primal dual splitting scheme for three operators [Yan 2018]. By leveraging the PDEs' underlying variational structure, our method overcomes stability issues present in previous numerical work built on explicit time discretizations, which suffer due to the equations' strong nonlinearities and degeneracies. Our method is also naturally positivity and mass preserving and, in the case of the JKO scheme, energy decreasing. We prove that minimizers of the fully discrete problem converge to minimizers of the spatially continuous, discrete time problem as the spatial discretization is refined. We conclude with simulations of nonlinear PDEs and Wasserstein geodesics in one and two dimensions that illustrate the key properties of our approach, including higher order convergence our novel Crank-Nicolson type method, when compared to the classical JKO method.

研究の動機と目的

• ワッサースタイン勾配流に従う非線形で非局所的なPDEに対して、安定で正値性を保ち、質量保存を行う数値解法を開発すること。
• これらのPDEに強い非線形性と退化性があるため、明示的時間離散化では安定性の問題が生じるのを克服すること。
• ベナム＝ブレニエ定式化を用いて方程式の変分的構造を活用し、完全離散化された凸最適化を可能にすること。
• エネルギー減少性および質量保存性を保つ、収束が保証された数値スキームを提供すること。
• 新規に提案されたクランク・ニコルソン型時間離散化を用いたシミュレーションにより、高次収束を実証すること。

提案手法

• 時間離散化は、古典的なJKOスキームまたは新しく提案されたクランク・ニコルソン型スキームを用い、時間精度を向上させる。
• ワッサースタイン距離は、ベナム＝ブレニエの動的特徴付けを用いて再定式化され、PDEの時間発展が時間積分型最小化問題に変換される。
• 得られる完全離散問題は、強凸な目的関数と線形制約を伴う凸最適化問題であり、一意な最小解が保証される。
• 最近開発された3つの作用素に対するプリマル・デュアル分割スキームが、収束が保証された最小化問題の解法に適用される。
• 基礎的な変分的構造と制約の強制により、正値性と質量保存が構成上保証される。
• 空間分解能を細かくすることで、離散的最小解が連続問題に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワッサースタイン勾配流に起因する非線形で非局所的なPDEに対して、安定性と収束性を保証するプリマル・デュアル法を開発できるか？
• RQ2 提案されたクランク・ニコルソン型時間離散化は、古典的なJKOスキームと比較して、収束次数においてどのように異なるか？
• RQ3 この手法を、収束が保証された形でワッサースタイン測地線と距離の計算に拡張できるか？
• RQ4 この手法は、その変分的定式化のおかげで、本質的に質量保存と正値性を保つことができるか？
• RQ5 空間分解能を細かくするに従って、離散的最小解の収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• 新規に提案されたクランク・ニコルソン型スキームを用いることで、時間方向に高次収束を達成し、シミュレーションにおいて古典的な1次精度のJKOスキームを上回る性能を示した。
• 最適化定式化における変分的構造と制約の強制のおかげで、正値性と質量保存が本質的に保証される。
• 離散的勾配流系列に沿ってエネルギーが減少し、連続勾配流のエネルギー減少性を満たす。
• 空間分解能を細かくすることで、完全離散問題の最小解が連続的・離散的問題の最小解に収束する。
• ワッサースタイン測地線と距離の計算を特殊ケースとして、収束が保証された数値スキームとして提供する。
• 1次元および2次元の数値シミュレーションにより、本手法の安定性、精度、耐障害性が、多孔質媒体方程式やフォッカー・プランク方程式を含む複雑なPDEに対して確認された。