[論文レビュー] Prime-Generating Polynomial

Madieyna Diouf|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、41未満の双子素数のうち小さい方の素数を表す $p$ に対して、整数 $n$ が区間 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ に含まれるすべての値で素数を生成する2次多項式 $(1+2n)(p-2n)+2$ を導入している。この多項式は、すべての such $p$ に対して連続して85個の素数を生成し、素数が繰り返し現れる傾向がある。これは双子素数の対称性に基づく、素数生成の新しいメカニズムを示している。

ABSTRACT

We present a prime-generating polynomial $(1+2n)(p -2n) + 2$ where $p>2$ is a lower member of a pair of twin primes less than $41$ and the integer $n$ is such that $\: \frac {1-p}{2} < n < p-1$.

研究の動機と目的

• 双子素数の構造的性質を用いた多項式ベースの素数列生成法の探索。
• 有界な係数を持つ低次の多項式が長期間にわたり素数を生成できるかの調査。
• 双子素数から導かれる2次式が、常に素数または絶対値が素数の値を生成する条件の特定。

提案手法

• 整数 $n$ が区間 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ に含まれる整数 $n$ に対して、$p$ を41未満の双子素数の小さい方の素数とする多項式 $p_n = (1+2n)(p - 2n) + 2$ を定義する。
• 有効なすべての $n$ に対して式を評価し、出力が負であっても絶対値を取ることで正の値を保証する。これは、出力が負であってもその絶対値が素数である場合があるためである。
• 指定された範囲内のすべての $n$ 値を、各適格な $p$ に対して体系的にテストし、区間の完全なカバーを確保する。
• この構成は、双子素数に見られる対称性と、因子の変換に着想を得ている：各ステップで一方の因子を2増やし、他方を2減らす。
• 多項式は、恒等式 $p_0 = 1 \cdot p + 2$ の因子に対する再帰的調整から導出される。
• 得られる2次形式は $-4n^2 + 2n(p-1) + p + 2$ であり、$n$ の全範囲にわたって素数性が分析される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 41未満の双子素数の小さい方の素数 $p$ に対して、多項式 $(1+2n)(p-2n)+2$ が区間 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ 内のすべての $n$ に対して素数（または絶対値が素数）を生成するか？
• RQ2 この多項式は、すべての such $p$ に対して、最大何個の連続素数を生成できるか？
• RQ3 生成された素数は一意か、それとも繰り返しがあるのか？ 重複の原因は何か？
• RQ4 この構成は、41未満の双子素数に限らず、より長い素数生成列を得るために一般化可能か？
• RQ5 この多項式が非常に一貫して素数を生成できる背後にある構造的または数論的性質は何か？

主な発見

• 41未満で $p > 2$ である双子素数の各ペアに対して、多項式 $p_n = (1+2n)(p - 2n) + 2$ は、整数 $n$ が区間 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ に含まれるすべての値で、絶対値を取った上で素数を生成する。
• すべての such $p$ に対して出力された素数の合計数は85個であり、素数が繰り返し現れる傾向があるため、値の対称的分布が示唆される。
• $p = 3$ の場合、$n = 0, 1$ の範囲（$n$ は $-1$ から $1$）で5, 5の2つの素数を生成し、2つの異なる素数が得られる。
• $p = 5$ の場合、$n = -1$ から $3$ の範囲（$n$ は $(-2, 4)$）で6つの素数値（5, 7, 11, 7, 5）を生成し、5つの異なる素数が得られる。
• $p = 11$ の場合、$n = -5$ から $9$ の範囲で15個の素数値を生成し、$n = 2$ を中心に左右対称となる。生成される素数は11から131までである。
• $p = 29$ の場合、$n = -14$ から $27$ の範囲で42個の素数値を生成し、出力は対称的であり、1373 や 1217 といった大きな素数も含む。これは、すべてのテスト済みの $p$ の中で最長の列を示している。