[論文レビュー] Prime numbers with Beatty sequences

William D. Banks, Igor E. Shparlinski|ArXiv.org|Aug 7, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ \alpha $ が有限型の正の無理数であり、$ q $ が $ N $ のべき乗として増加する条件下で、$ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ の形の素数の個数に対する漸近公式を確立する。指数和の推定と不等分布の境界を用いて、その個数が $ \frac{q}{\varphi(q)} \pi(N) $ に漸近的に比例することを証明し、Longの素数に関する予想の精密化を確認する。主な貢献は、$ \alpha $ に対してディオファントス的条件が満たされる場合、$ q $ が $ N $ に対して多項式的に増加するときでさえ非自明な誤差項が得られることである。

ABSTRACT

A study of certain Hamiltonian systems has lead Y. Long to conjecture the existence of infinitely many primes of the form $p=2[αn]+1$, where $10$ depends only on $α$. We also prove a similar result for primes $p=[αn+β]$ such that $p\equiv a\pmod q$.

研究の動機と目的

• 無理数 $ \alpha $ が有限型であるとき、$ q $ が $ N $ とともに増加する条件下で、$ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ の形の素数の個数に対する一様な漸近的推定を確立すること。
• RibenboimのBeatty列における素数に関する議論を一般化し、$ \alpha $ に対してディオファントス的条件が成り立つ場合に、$ q $ が $ N $ のべき乗として増加する場合に適用可能となるようにすること。
• 特に $ (a,q) = (0,1) $ および $ (1,2) $ の場合に、このような素数が法 $ q $ における算術級数にどのように分布するかを分析すること。これはLongの予想に対応する。
• 指数和の手法と不等分布の境界を用いて、$ q $ が $ N $ に対して多項式的に増加する場合でも、素数の個数関数における非自明な誤差項を導出すること。
• Beatty列自体が固定された法 $ q $ における算術級数に属する場合にも、同様の漸近公式が成り立つことを示すこと。

提案手法

• von Mangoldt関数 $ \Lambda(n) $ を含む指数和の推定を用いて、Beatty列における素数の分布を分析する。
• 無理数 $ \gamma $ に対する分数部分 $ \{ \gamma m \} $ の不等分布の境界を適用し、特に $ \alpha $ の有限型条件を活用して誤差項を制御する。
• 区間の特性関数を滑らかな三角多項式による近似 $ \psi_{\Delta}(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} g_k e^{2\pi i k x} $ を用いて行う。
• 部分和とSiegel–Walfiszの定理を用いて、特に $ q $ が小さい場合の算術級数に関する和を推定する。
• Korobov–Vinogradovのゼロ自由領域の境界を適用し、$ (a,q) = (0,1) $ や $ (1,2) $ のような特別な場合により強い誤差項を得る。
• $ \alpha < 1 $ の場合を $ \alpha > 1 $ の場合に還元するために、$ t = \lceil \alpha^{-1} \rceil $ を用いた変換を用いることで、すべての $ \alpha > 0 $ に対して一貫性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無理数 $ \alpha $ が有限型であるとき、$ q $ が $ N $ とともに増加する場合、$ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ の形の素数の個数を漸近的に推定できるか？
• RQ2 法 $ q $ における算術級数に属するような素数の漸近的密度が、$ q $ が $ N $ のべき乗として増加する場合でも $ \frac{q}{\varphi(q)} \pi(N) $ に比例し続けるか？
• RQ3 このような素数の個数に関する漸近公式における最良の誤差項は何か？また、その誤差項は $ \alpha $ のディオファントス的性質にどのように依存するか？
• RQ4 同じ手法を用いて、$ p = \lfloor \alpha n + \beta \rfloor $ が $ p \equiv a \pmod{q} $ を満たす素数を数えること、およびその結果得られる漸近的公式は何か？
• RQ5 $ q $ を増加させることを許容した場合、素数の個数関数における誤差項はどのように振る舞い、リーマンゼータ関数の深いゼロ自由領域を用いて改善可能か？

主な発見

• 無理数 $ \alpha > 0 $ が有限型であるとき、ある $ \kappa > 0 $ が存在し、$ n \leq N $、$ 0 \leq a < q \leq N^\kappa $、$ \gcd(a,q) = 1 $ を満たす $ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ の素数個数 $ \mathcal{N}_{\alpha,\beta;q,a}(N) $ は、$ \mathcal{N}_{\alpha,\beta;q,a}(N) = (1 + o(1)) \frac{q}{\varphi(q)} \pi(N) $ を満たす。ここで $ o(1) $ 項は $ \alpha $ と $ \beta $ のみに依存する。
• $ q \leq (\log N)^B $（$ B > 0 $ を固定）のとき、和 $ \sum_{n \leq N} \Lambda(q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a) $ の誤差項は $ O\left( N \exp(-C\sqrt{\log N}) \right) $ である。ここで $ C > 0 $ は $ \alpha, \beta, B $ に依存する。
• $ (a,q) = (0,1) $ および $ (1,2) $ の特別な場合、誤差項は $ O\left( N \exp(-c(\log N)^{3/5}(\log\log N)^{-1/5}) \right) $ に改善され、素数定理における最良の既知の誤差項と一致する。
• 同様の漸近公式が、$ \lfloor \alpha n + \beta \rfloor \equiv a \pmod{q} $ かつそれが素数であるような $ n \leq N $ の個数に対しても成り立つ。すなわち、$ \sum_{\substack{n \leq N \\ \lfloor \alpha n + \beta \rfloor \equiv a \pmod{q}}} \Lambda(\lfloor \alpha n + \beta \rfloor) = \alpha^{-1} \sum_{\substack{m \leq \lfloor \alpha N + \beta \rfloor \\ m \equiv a \pmod{q}}} \Lambda(m) + O(N^{1-\kappa}) $ であり、$ \kappa > 0 $ は $ \alpha $ のみに依存する。
• 上記の公式における誤差項は、$ q \leq (\log N)^B $ のとき $ O(N \exp(-C\sqrt{\log N})) $ であり、$ (a,q) = (0,1) $ または $ (1,2) $ のときは $ O(N \exp(-c(\log N)^{3/5}(\log\log N)^{-1/5})) $ である。
• 結果は $ a $ と $ q $ に関して一様であり、含まれる定数は $ \alpha $ と $ \beta $ のみに依存し、$ q \leq N^\kappa $ の条件下では $ q $ に依存しない。