[論文レビュー] Prime pairs and Zeta's zeros

Jacob Korevaar|ArXiv.org|Jun 5, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマンゼータ関数の非自明な零点に関連するディリクレ級数の境界挙動とハーディー＝ライトの素数対予想（PPC）との間で深い等価性を確立する。タウーベリアン・アプローチを用い、リーマン予想を仮定することで、PPCが成り立つのは、特定のゼータ零点関連関数が Re(s) = 1 で擬関数的境界挙動を示すときであり、かつそのときのみであることを示し、素数対の分布とゼータ零点の微細統計の間の関連を提示する。

ABSTRACT

There is extensive numerical support for the prime-pair conjecture (PPC) of Hardy and Littlewood (1923) on the asymptotic behavior of pi_{2r}(x), the number of prime pairs (p,p+2r) with p not exceeding x. However, it is still not known whether there are infinitely many prime pairs with given even difference! Using a strong hypothesis on (weighted) equidistribution of primes in arithmetic progressions, Goldston, Pintz and Yildirim have shown (2007) that there are infinitely many pairs of primes differing by at most sixteen. The present author uses a Tauberian approach to derive that the PPC is equivalent to specific boundary behavior of certain functions involving zeta's complex zeros. Under Riemann's Hypothesis and on the real axis, these functions resemble pair-correlation expressions. A speculative extension of Montgomery's classical work (1973) would imply that there must be an abundance of prime pairs.

研究の動機と目的

• 素数対予想（PPC）とゼータ関数の非自明な零点に結びついたディリクレ級数の境界挙動との間の正確な等価性を確立すること。
• 算術級数における素数の強い等分布仮説を用い、タウーベリアン理論を用いてPPCが導けるかどうかを調査すること。
• リーマン予想とモンゴメリーのペア相関予想が素数対の豊富さに与える影響を検討すること。
• リーマン予想のもとで、ゼータ零点から導かれる関数が臨界線上でペア相関式に類似していることを示すこと。
• ゼータ零点とふるい関数を含むある二重和の正値性を仮定することで、素数対の豊富さについての条件付き証明を提示すること。

提案手法

• 二方向のワイナーライケラ・タウーベリアン定理を適用し、素数対数え上げ関数 π₂ᵣ(x) の漸近的挙動と、ゼータ零点に関連するディリクレ級数 D₂ᵣ(s) の境界挙動を関連付ける。
• f(u+iv) − A/(u+iv) が u ↘ 1 のとき分布的極限を持ち、それが有限区間上で擬関数であるという条件を用いる。
• E^λ(ν) と呼ばれるふるい関数を導入し、2r ≤ λ となる偶数差の ∑π₂ᵣ(x) の和を解析する。滑らかでないが、効果的な挙動を示す。
• Σ²_λ(s) = ∑_{ρ,ρ'} Γ(ρ−s)Γ(ρ′−s) t^{2s−ρ−ρ′} cos(πρ/2)cos(πρ′/2) の二重和を解析し、E^λ(t) ≥ 0 のもとで非負性を示す。
• s ↘ 1/2 の角方向接近において (s−1/2)D₂ᵣ(s) → 0 となるという恒等式を用い、これは擬関数的条件に不可欠である。
• D₂ᵣ(s) の推定値と、mⱼ の集合における π₂ₘⱼ(x) の平均が、すべての 2r ≤ λ における平均の c 倍以上に下から有界であるという仮定を組み合わせ、π₂ₘ(x)/(x/log²x) の上極限の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数対予想（PPC）は、ゼータの非自明な零点に由来するディリクレ級数の特定の境界挙動と等価であるか？
• RQ2 リーマン予想と擬関数的境界条件が同時に成り立つと、与えられた偶数差を持つ素数対が無限に存在することを示唆するか？
• RQ3 E^λ(t) ≥ 0 のもとで、1/2 < s < 1 において二重和 Σ²_λ(s) が正であると仮定した場合、素数対の豊富さが条件付きで導かれるか？
• RQ4 モンゴメリーのペア相関予想は、PPCのもとで、素数対の豊富さをどの程度示唆するか？
• RQ5 滑らかでないふるい関数 E^λ(ν) を用いたタウーベリアン・アプローチでも、π₂ᵣ(x) の意味のある漸近的推定が得られるか？

主な発見

• 素数対予想（PPC）は、関数 g(w) = f(w) − A/w が Re(w) = 1 で擬関数的境界極限を持つという条件と等価である。
• リーマン予想のもとで、ゼータ零点から導かれる関数は、臨界線 Re(s) = 1/2 でモンゴメリーのペア相関式に類似している。
• 1/x ∑_{r≤m} ψ₂ᵣ(x) の上極限が (2−ε)m を超えることから、x までの差 2r を持つ素数対の平均数が、定数倍の下界で有界であることが示される。
• mⱼ の集合における π₂ₘⱼ(x) の平均が下界条件を満たすならば、π₂ₘ(x)/(x/log²x) の上極限は正の定数 c で下から有界である。
• E^λ(t) ≥ 0 のもとで、1/2 < s < 3/4 において二重和 Σ²_λ(s) は非負であり、これはゼータ零点の和の二乗ノルム構造に起因する。
• δD₂ₘ((1/2)+δ) ≥ c(1/2 − 1/(4λδ)) − o(1) が δ↘0 かつ λ→∞ の適切な数列 S において成り立つことから、s=1/2 における留数が下から有界であることが示され、素数対の豊富さを支持する。