[論文レビュー] Prime-to-p étale covers of algebraic groups

Michel Brion, Tamás Szamuely|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特性 p ≥ 0 の代数閉体上に定義された連結な代数群の、p と互いに素なエタール・ガロア被覆が、中心的同態構造を備えることを確立し、p と互いに素な基本群が可換であり、Z_{(p')}^{2g+r} で有界であることを示している。ここで g はアーベル・多様体商の次元、r は冪零部分のランクである。この結果は、安定化部分群に依存するより精密な有界性を伴って、同次空間へと拡張される。

ABSTRACT

Let G be a connected algebraic group over an algebraically closed field of characteristic p (possibly 0), and X a variety on which G acts transitively with connected stabilizers. We show that any étale Galois cover of X of degree prime to p is also homogeneous, and that the maximal prime-to-p quotient of the étale fundamental group of X is commutative. We moreover obtain an explicit bound for the number of topological generators of the said quotient. When G is commutative, we also obtain a description of the prime-to-p torsion in the Brauer group of G.

研究の動機と目的

• 正の特性における代数群に古典的な位相群の結果を一般化すること。
• 連結な代数群に対する p と互いに素なエタール基本群 π₁^{(p')} の構造と位相的ランクを特定すること。
• 連結な安定化部分群をもつ同次空間へのエタール被覆の理論を拡張すること。
• 可換代数群のピカール群およびブローア群を研究するための基盤的道具を提供すること。
• π₁^{(p')}(G) の位相的生成元の数を、幾何的不変量の観点から明確な有界性で与えること。

提案手法

• G をアーベル多様体 A による線形群 G_aff への拡張として分解するためのチェヴァリの構造定理の利用。
• A とトーラス T 間の拡張を、ホモモーフィズム c: X*(T) → Pic⁰(A) を通じて分類するバーロッティ＝ウェイルの公式の適用。
• 可換代数群上の μ_n- torsor が、中心的拡張からの引き戻しによって可換群スキーム構造をもつことの活用。
• G とその冪零部分群 U についての同型 Pic(G) ≅ Pic(G/U) を用いて、Pic(G) を冪零部分群を modulo して Pic(A) に還元。
• ネロン＝セベリ群と ℓ-進コホモロジーを用いて、ブローア群における ℓ-主 torsion を計算。
• ローゼンリヒトの補題と線分束のべきの自明化を用いた、μ_n- torsor 上の群構造の初等的構成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 p ≥ 0 の代数閉体上に定義された連結代数群 G に対して、p と互いに素なエタール基本群 π₁^{(p')}(G) の構造は何か？
• RQ2 G の p と互いに素なエタール・ガロア被覆は、すべて中心的同態構造を備え、群準同型として記述可能か？
• RQ3 π₁^{(p')}(G) の位相的ランクは、そのアーベル多様体商の次元や再導的部のランクといった幾何的不変量にどのように依存するか？
• RQ4 連結な安定化部分群をもつ G-同次空間 X に対して、π₁^{(p')}(X) の構造は何か？
• RQ5 可換代数群のブローア群は、その torsion 部分群と幾何的不変量を用いてどのように記述できるか？

主な発見

• p と互いに素な基本群 π₁^{(p')}(G) は可換であり、Z_{(p')}^{2g + r} の商である。ここで g = dim A、r = rank(G_aff) である。
• 有界性 2g + r は鋭いものであり、G が次元 g のアーベル多様体とランク r のトーラスの直積であるとき、等号が成立する。
• 連結な安定化部分群をもつ同次空間 X に対して、π₁^{(p')}(X) は Z_{(p')}^{2(g - g_H) + (r - r_H)} の商である。ここで g_H と r_H は安定化部分群 H の次元およびランクである。
• ブローア群 Br(G) の ℓ-主 torsion は (Q_ℓ/Z_ℓ)^{(2g + r)(2g + r - 1)/2 - ρ} に同型であり、ρ はアーベル多様体商 A のネロン＝セベリランクである。
• n が特性と互いに素であるとき、0 → Pic(G)/nPic(G) → Hom(Λ²(_nG), μ_n) → _nBr(G) → 0 という完全列が成り立ち、グロタンディークの公式が可換代数群へと拡張される。
• μ_n- torsor 上の群構造は、線分束のべきの自明化とローゼンリヒトの補題を用いて構成された G への中心的拡張から生じる。