[論文レビュー] Primes and almost primes between cubes

Daniel R. Johnston, Simon N. Thomas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2026

Analytic Number Theory Research被引用数 0

ひとこと要約

この論文は、重い計算と篩法を用いて、すべての n^3 に対して (n+1)^3 の間に素数が存在することを示す（上限は n^3 ≤ 1.649×10^40 までの範囲）、また同区間には少なくとも 2 個の素因子を持つ数（Ω(a) ≤ 2）の存在も示す。さらに Mill の関数の推論についても考察する。

ABSTRACT

In this paper we study the problem of detecting prime numbers between all consecutive cubes. Firstly, we use a large computation to show that there is always a prime between $n^3$ and $(n+1)^3$ for $n^3\leq 1.649\cdot 10^{40}$. In addition, we use this computation and a sieve-theoretic argument to show that there exists a number with at most 2 prime factors (counting multiplicity) between $n^3$ and $(n+1)^3$ for all $n\geq 1$. Our sieving argument uses a logarithmic weighting procedure attributed to Richert, which yields significant numerical improvements over previous approaches.

研究の動機と目的

• 大規模に計算された範囲内で連続する立方数の間に素数が存在することを無条件で調査する。
• 同じ区間でほぼ素数（Ω(a) ≤ 2）を検出するために篩い法を拡張する。
• リチャートの対数加重を活用して篩いを最適化し、明示的な数値結果を得る。
• 短い区間内の素性検出に対する計算リミットと資源要件を示す。

提案手法

• 立方区間 (n^3,(n+1)^3) における整数を素数とほぼ素数のために篩い理論の枠組みを採用する。
• 乗法関数 g(d)=1/d を用いた明示的な線形篩 Bounds（Bordignon–Starichova–Danzer）を用いて篩い集合を限界する。
• リチャートの対数加重を適用して、篩い関数と Ω(a) ≤ k（ここでは k=2）の個数を関連づける。
• 大規模計算を活用し、以前の立方区間アルゴリズムを (n^3,(n+1)^3) 区間に適用し、篩い候補内の素性判定には BLS 素性検査を用いる。
• 厳密な下限/上限を篩い枠組み内で保証するために、z, y, p の境界や誤差項など明示的なパラメータ範囲を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての n^3 ≤ 1.649×10^40 という計算境界まで、(n^3) と (n+1)^3 の間に素数が存在するか？
• RQ2 すべての n ≥ 1 に対して、(n^3,(n^1+1)^3) の区間に Ω(a) ≤ 2 の整数が存在するか？
• RQ3 リチャートの対数篩の加重は、立方区間設定で過去の手法より数値的境界をどれほど改善できるか？
• RQ4 連続的な無条件結果を、立方間の短い区間で素数に拡張するには、現状で確立されていない強力な明示的篩法ツールが必要か？
• RQ5 同じ区間枠組みで Mill の素数生成関数と計算結果はどのように関係するか？

主な発見

• すべての n^3 ≤ 1.649×10^40 に対して (n^3,(n+1)^3) の間に素数が存在することを、大規模計算により確立した。
• すべての n ≥ 1 に対して (n^3,(n+1)^3) の間に Ω(a) ≤ 2 を満たす数が存在することを、リチャートの対数篩加重を用いて証明した。
• リチャートの加重はこの文脈で Kuhn のより単純な加重法よりもはるかに優れた数値結果を生み、Ω(a) ≤ 2 の結論を導いた一方、Kuhn の手法では十分ではなかった。
• 2-ほぼ素数の結果の適用により Mill の素数表現関数のほぼ素数版が得られ、すべての n ≥ 1 に対して floor(A^{3^n}) が 2 個以下の素因子を持つことを示す（Mill の定数 A）。
• このアプローチは限界を明確にし、これらの篩法で素数（Ω(a)=1）に到達するには、現状確立されていないより強力な明示的篩ツールが必要であることを示す。