[論文レビュー] Primitive forms via polyvector fields

Changzheng Li, Si Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 39被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、重み付き斉次特異点のための原始形式を構成するために多ベクトル場を用いた複雑な微分幾何的枠組みを構築し、Calabi-Yau的およびLandau-Ginzburg的鏡像対称性を統一する。原始形式のテイラー展開を求める摂動的アルゴリズムを提供し、そのモジュライ空間を記述することで、E12特異点に対して明示的な表現が得られ、FJRW理論への応用が可能になる。

ABSTRACT

We develop a complex differential geometric approach to the theory of higher residues and primitive forms from the viewpoint of Kodaira-Spencer gauge theory, unifying the semi-infinite period maps for Calabi-Yau models and Landau-Ginzburg models. We give an explicit perturbative construction of primitive forms with respect to opposite filtrations and primitive elements. This leads to a concrete algorithm to compute the Taylor expansions of primitive forms as well as the description of their moduli space for all weighted homogenous cases. As an example, we present unknown perturbative expressions for the primitive form of E_12 singularity and illustrate its application to Landau-Ginzburg mirror symmetry with FJRW-theory.

研究の動機と目的

• BCOV理論およびKodaira-Spencerゲージ理論を用いて、高次留数および原始形式のための複素微分幾何的アプローチを確立すること。
• 多ベクトル場形式を用いて、Calabi-Yau的およびLandau-Ginzburg的モデルにおける半無限周期写像を統一すること。
• 重み付き斉次の場合における原始形式のテイラー展開を計算する明示的アルゴリズムを開発すること。
• すべての重み付き斉次特異点における原始形式のモジュライ空間を記述すること。
• E12特異点の原始形式に対して明示的な摂動的表現を提供し、FJRW理論の鏡像対称性への応用を行うこと。

提案手法

• Calabi-YauおよびLandau-Ginzburg的モデルにおける多ベクトル場のBCOV理論を、 compactly な多ベクトル場を用いたゲージ理論として形式化する。
• コチェーンレベルで高次留数写像を上昇させるトレース写像を導入し、原始形式の構成と接続する。
• 基底多様体のジャンプ空間における摂動的展開を用いて、逆フィルトレーションおよび原始的要素を用いて形式的原始形式を構成する。
• 重み付き斉次多項式に階数作用素を適用して同次性を定義し、摂動的展開を簡略化する。
• 相対的多ベクトル場および半無限Hodge構造の変動を用いて、フレームおよび整合性条件を定義する。
• 振動積分および留数ペアリング（KfΩ）を用いて、FJRW設定における1やzmなどのセクションの原始性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BCOV理論およびKodaira-Spencerゲージ理論の文脈において、多ベクトル場理論から原始形式の摂動的構成を体系的に導出可能か？
• RQ2 重み付き斉次特異点における原始形式のモジュライ空間を明示的に記述できるか？
• RQ3 E12のような例外的特異点における原始形式の明示的テイラー級数展開は何か？
• RQ4 FJRW理論におけるLandau-Ginzburg的Aモデルの原始形式と、Saito-Givental理論におけるBモデルの原始形式との間の鏡像対称性による関係は何か？
• RQ5 P1の鏡像において、恒等セクション1や他の単項式zmが原始形式として機能できるか、そしてその条件は何か？

主な発見

• 本稿は、すべての重み付き斉次ケースにおける原始形式の摂動的公式を構築し、任意の有限次までのフォーブルスマンフォールドの汎在を計算可能にする。
• E12特異点に対して、以前未知であった原始形式の摂動的表現を提供し、FJRW理論との鏡像対称性の検証に用いる。
• 鏡像Landau-Ginzburgモデル（f(z) = z + q/z）における恒等セクション1 ∈ Γ(S, HF,Ω(0)) が原始形式であることが証明された。
• 高次留数ペアリング KfΩ(1, q/z) = -1 および KfΩ(1,1) = 0 が明示的に計算され、恒等セクションの原始性が確認された。
• この結果を一般化し、すべての m ∈ ℤ に対して zm が対応する逆フィルトレーション Lm に関して原始形式であることが示された。
• この構成により、Arnoldの例外的ユニモジュラー特異点における fT のSaito-Givental Bモデルと (f, Gmax) のFJRW Aモデルとの間の鏡像対称性が成立することが確認された。