[論文レビュー] Primitive root producing quadratics

Pieter Moree|ArXiv.org|Jun 2, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、固定された整数 g が原始根であるような素数を生成する二次多項式を調査し、類数1問題と素数生成多項式にリンクしている。クラス体理論と素数 k-ツプル推測を用いて、g が原始根である連続素数の任意に長い列を持つような二次多項式の存在を証明し、326 が 326n² + 3 の形の最初の 206 個の素数において原始根であることが示され、後に Y. Gallot により 31,082 個の素数へと拡張された。

ABSTRACT

D.H. Lehmer found a quadratic polynomial such that 326 is a primitive root for the first 206 primes represented by this polynomial. It is shown that this is related to the class number one problem and prime producing quadratics. An algorithm is described to find more impressive examples in the same spirit. Y. Gallot used it to establish the current record in which 206 is being replaced by 31082.

研究の動機と目的

• 固定された整数 g が二次多項式 f(n) によって生成される連続する多数の素数において原始根であるという現象を調査すること。
• この性質を虚二次体の類数1問題および素数生成多項式に関連付けること。
• 任意の与えられた m に対して、f(n) が素数であり g もその素数を割らない最初の m 個の素数において g が原始根であるような二次多項式 f と整数 g が存在することを示すこと。
• 『原始根生成』多項式という概念を形式化し、その理論的限界を分析すること。

提案手法

• 二次多項式が表す素数の密度をモデル化するために、Bateman-Horn および Hardy-Littlewood 推測を用いる。
• 数体 Q(√g_i) における素数の分解挙動を制御するために、クラス体理論と二次相互法則を適用する。
• 算術進数列における複数の f(n) の同時素数性を保証するために、素数 k-ツプル推測を用いる。
• g が f(n) が素数である範囲のすべての n に対して f(n) を法として原始根であるような、明示的な二次多項式 f(n) = An² + C を構成する。
• 中国剰余定理と一様分布仮定を用いて、与えられた素数の集合に対して原始根条件を満たす最小の解の大きさを推定する。
• L-関数（L(1,χ_D) および L(2,χ_D)）の結果を活用し、ディリクレ L-関数の解析的挙動とこのような多項式の存在との関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された整数 g は、二次多項式 f(n) によって生成される連続する多数の素数において原始根になり得るか？
• RQ2 g と f にどのような数論的条件を課すと、f(n) が素数であり g もその素数を割らないすべての素数において g が原始根になるか？
• RQ3 このような列の長さに理論的上限はあるのか、それとも任意に長くできるのか？
• RQ4 原始根生成多項式は、虚二次体の類数1問題とどのように関係しているか？
• RQ5 素数 k-ツプル推測は、原始根素数の長大な列を保証的に構成するのにどの程度利用可能か？

主な発見

• 本稿では、任意の整数 m ≥ 1 に対して、f(n) が素数であり g もその素数を割らない最初の m 個の素数において g が原始根であるような二次多項式 f と整数 g が存在することを証明している。
• 例として f(n) = 326n² + 3 を用いることで、326 が 206 個の連続する素数において原始根であることが示され、これは Q(√−163) の類数1に関連している。
• Y. Gallot は類似の原理と高度な計算を用いて、この記録を 31,082 個の連続する素数へと拡張した。
• このような多項式の存在は、素数 k-ツプル推測と一般化されたリーマン仮説に依存するが、これらの仮定のもとでは理論的に整合的である。
• この多項式の密度は、L(2,χ_D) の大きさによって支配され、L(1,χ_D) が素数生成挙動を支配するのと同様の仕組みであることが示された。
• 二次多項式が g が原始根である素数を無限に生成することは不可能である、すなわち c_g(f) < ∞ であるが、任意に長い有限列は可能であることが証明された。