[論文レビュー] Primitive sets of nonnegative matrices and synchronizing automata

Balázs Gerencsér, Vladimir V. Gusev+1 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Feb 24, 2016

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非負行列の原始的集合と同期化自動機の間で深い等価性を確立し、n×n 行列に対する最大指数の指数的成長率が log 3 / 3 であることを証明するとともに、慎重同期化自動機におけるČerný予想を解決する。さらに、零行・零列を含まない行列の指数を計算することは FP^{NP[log]}-完全であることを示し、全サポートを持つ行列に対しては 2n² − 5n + 5 の二次上界を与える。

ABSTRACT

A set of nonnegative matrices $\mathcal{M}=\{M_1, M_2, \ldots, M_k\}$ is called primitive if there exist indices $i_1, i_2, \ldots, i_m$ such that $M_{i_1} M_{i_2} \ldots M_{i_m}$ is positive (i.e. has all its entries $>0$). The length of the shortest such product is called the exponent of $\mathcal{M}$. The concept of primitive sets of matrices comes up in a number of problems within control theory, non-homogeneous Markov chains, automata theory etc. Recently, connections between synchronizing automata and primitive sets of matrices were established. In the present paper, we significantly strengthen these links by providing equivalence results, both in terms of combinatorial characterization, and computational aspects. We study the maximal exponent among all primitive sets of $n imes n$ matrices, which we denote by $\exp(n)$. We prove that $\lim_{n ightarrow\infty} frac{\log \exp(n)}{n} = frac{\log 3}{3}$, and moreover, we establish that this bound leads to a resolution of the Černý problem for carefully synchronizing automata. We also study the set of matrices with no zero rows and columns, denoted by $\mathcal{NZ}$, due to its intriguing connections to the Černý conjecture and the recent generalization of Perron-Frobenius theory for this class. We characterize computational complexity of different problems related to the exponent of $\mathcal{NZ}$ matrix sets, and present a quadratic bound on the exponents of sets belonging to a special subclass. Namely, we show that the exponent of a set of matrices having total support is bounded by $2n^2 -5n +5$.

研究の動機と目的

• 非負行列の原始的集合と同期化自動機の間の正式な等価性を、特に組合せ的構造と計算複雑性の観点から確立すること。
• すべての n×n 原始的行列集合に対して、最大指数 exp(n) の漸近的成長率を特定すること。
• 行列理論的道具を用いて、特に慎重同期化自動機という特殊ケースにおいて、Černý予想を解決すること。
• 零行・零列を含まない行列のクラス 𝔛NZ に属する行列の指数計算の計算複雑性を特徴づけること。
• 全サポートを持つ行列に対して指数の二次上界を導出し、Černý予想へのその意味を検討すること。

提案手法

• ブール半体の枠組みを活用し、行列乗算を AND の OR として扱い、行列積を状態遷移の系列としてモデル化する。
• 行列積が正であることと自動機の語が同期化可能であることの等価性を用い、特に自動機の遷移から遷移行列を構成する。
• 𝔛NZ に属する行列集合に対する一般化された Perron-Frobenius 理論を適用し、行列作用下での周期的分割の不在によって原始性を特徴づける。
• 同期化自動機の問題（例：リセット閾値の決定および近似）からの還元を活用して、行列指数の問題を既知の複雑性クラスに還元する。
• NP[log]-クエリを用いた多項式有界の指数値における二分探索を用いて、正確な指数を決定し、計算を FP^{NP[log]} に位置づける。
• 遷移グラフの構造的解析と経路存在条件を用いて、全サポートを持つ行列に対して 2n² − 5n + 5 の二次上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n×n 原始的行列集合に対する最大指数 exp(n) の漸近的成長率は何か？
• RQ2 行列理論的手法を用いて、慎重同期化自動機におけるČerný予想を解決できるか？
• RQ3 行列集合 𝔛NZ に対して、指数が k 以下であるかどうか、または正確に k であるかどうかを決定する問題の計算複雑性は何か？
• RQ4 全サポートを持つ行列集合に対して指数の二次上界が存在するか？ また、それはČernuly予想に何を意味するか？
• RQ5 行列集合の構造的性質（例：全サポート、非可約性）は、短い正の積の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 極限 lim_{n→∞} (log exp(n)) / n = log 3 / 3 が確立され、最大指数の正確な漸近的成長率が得られた。
• 𝔛NZ に属する 3 個の n×n 行列からなる集合 𝔪 に対して、exp(𝔪) ≤ k かどうかを決定する問題は NP-完全である。
• exp(𝔪) = k かどうかを決定する問題は DP-完全であり、exp(𝔪) を計算することは FP^{NP[log]}-完全である。
• 任意の ε > 0 に対して、exp(𝔪) を要因 n^{1−ε} の範囲内で近似することは NP-困難である。これは強い近似困難性を示している。
• 全サポートを持つ任意の n×n 行列集合の指数は、2n² − 5n + 5 以下である。これは二次上界である。
• 本稿で得られた指数の上限が、予想される n² の閾値と一致するため、慎重同期化自動機におけるČerný予想が解決された。