[論文レビュー] Primitive tensors and convergence of an iterative process for the eigenvalues of a primitive tensor

K. PEARSON|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2010

Tensor decomposition and applications参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、原始的テンソル（primitive tensor）の概念を導入し、非負テンソルの最大固有値を計算する反復的アルゴリズムの収束を証明する。原始的性質を定義し、その性質を確立することで、著者らは原始的テンソルに対してそのアルゴリズムが収束することを示し、Ng, Qi, and Zhouが提案した手法について、従来の研究では収束の証明が欠落していた点を解消する。

ABSTRACT

An algorithm for finding the eigenvalue of a nonnegative irreducible tensor was recently proposed by Michael Ng, Liqun Qi, and Guanglu Zhou in {\it Finding the largest eigenvalue of a nonnegative tensor}. However, the authors did not prove the proposed algorithm converges. In this paper, primitive tensors are defined and the algorithm is shown to converge for primitive tensors.

研究の動機と目的

• 非負行列の原始的行列への一般化としての、高次テンソルにおける原始的テンソルの定義と特徴付け。
• 非負で非可約なテンソルに対して、Ng, Qi, and Zhouが提案した反復的固有値アルゴリズムの収束証明が欠落していた問題に取り組む。
• 反復的アルゴリズムがテンソルの最大固有値に収束するための条件を確立する。
• 原始的性質を十分条件として導入することにより、非負テンソル固有値の理論を拡張する。

提案手法

• 非負行列から高次テンソルへの一般化により、原始的テンソルの定義を導入する。
• テンソルの原始的次数（primitive degree）を、そのテンソルの k 乗が正であるような最小の正の整数 k として定義する。
• 非負テンソルのスペクトル論を用いて、原始的性質が正の固有ペアの存在および一意性と関係することを示す。
• パワー法の枠組みを用いて反復的アルゴリズムを分析し、原始的性質の下で収束を示す。
• 原始的性質が示す正の性質と非可約性を活用して、アルゴリズムが最大固有値に収束することを証明する。
• 原始的性質が、スペクトル半径が単純な正の固有値であり、正の固有ベクトルを持つことを保証することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負テンソルの最大固有値を計算する反復的アルゴリズムは、すべての非可約テンソルに対して収束するのか、それとも追加の条件が必要なのか？
• RQ2 固有値計算のパワー型反復法の収束を保証するテンソルの構造的性質は何か？
• RQ3 行列における原始的性質を高次テンソルへ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ4 Ng-Qi-Zhouアルゴリズムが最大固有値に収束することを保証するテンソルの十分条件は何か？

主な発見

• 本稿では、テンソルの k 乗が正であるような正の整数 k が存在するという性質を持つ高次テンソルとして、原始的テンソルを定義する。
• 原始的テンソルに対しては、スペクトル半径が単純で正の固有値であり、正の固有ベクトルを持つことが証明される。
• 原始的テンソルに対しては、最大固有値を計算する反復的アルゴリズムがグローバルに収束する。
• 収束は、原始的性質が要求する正の性質と非可約性を保証するため、保証される。
• 本稿では、原始的性質が収束の十分条件であることが確立され、Ng-Qi-Zhouアルゴリズムにおける理論的ギャップが埋められる。
• 結果として、原始的性質の下で、パワー法の収束理論が非負テンソルへ拡張される。