[論文レビュー] Primitive turbulence: kinetics, Prandtl's mixing length, and von Karman's constant

Helmut Z. Baumert|ArXiv.org|Jul 1, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限大のレイノルズ数におけるせん断生成乱流の原始的運動論的理論を提案する。乱流渦を準粒子（渦双極子）としてモデル化し、それらの衝突が拡산（散乱）または散逸（消滅）を引き起こす。実験的値と一致する $(2/\pi)^{1/2} \approx 0.399$ のフォン・カーマン定数を、経験的パrameterなしに導出しており、対数速度則の閉じた、パrameterフリーの理論を提供する。

ABSTRACT

The paper presents a theory of shear-generated turbulence at asymptotically high Reynolds numbers. It is based on an ensemble of dipole vortex tubes taken as quasi-particles and realized in form of rings, hairpins or filament couples of potentially finite length. In a not necesserily planar cross sectional area through a vortex tangle, taken locally orthogonal through each individual tube, the dipoles are moving with the classical dipole velocity. The vortex radius is directly related with Prandtl's classical mixing length. The quasi-particles perform dipol chaos which reminds of molecular chaos in real gases. Collisions between quasi-particles lead either to particle annihilation (turbulent dissipation) or to particle scattering (turbulent diffusion). These ideas suffice to develop a closed theory of shear-generated turbulence without empirical parameters, with analogies to birth and death processes of macromolecules. It coincides almost perfectly with the well-known K-Omega turbulence closure applied in many branches of science and technology. In the case of free homogeneous decay the TKE is shown to follow 1/t. For an adiabatic condition at a solid wall the theory predicts a logarithmic mean-flow boundary layer with von Karman's constant as 1/SQRT(2 pi)=0.399.

研究の動機と目的

• 漸近的に高いレイノルズ数における、最小限で物理的に根拠を持つせん断生成乱流の理論を構築すること。
• ナビエ＝ストークス展開に基づく伝統的な閉じ込めモデルに代わって、気体力学を模倣した運動論的アプローチを導入すること。
• 渦双極子の衝突と準粒子統計を用いて、対数平均速度則とフォン・カーマン定数を説明すること。
• 統計的枠組みの中で、乱流拡散と散逸を、出生・死滅過程として統合すること。

提案手法

• 乱流流体内での渦双極子（例：ヘアピンやリング）を、半安定な高分子に類似した準粒子として扱う。
• 古典的双極子速度 $ u = r \cdot \omega $ を用いて粒子運動をモデル化し、渦半径 $ r $ をプラントルの混合長に関連付ける。
• 拡散と消滅を表す形で $ \partial_t n = \nabla \cdot (\nu \nabla n) - \beta n^2 $ のような運動論方程式を適用する。
• 衝突結果の50%を散乱（拡散）とし、残り50%を消滅（散逸）と仮定し、不可逆的プロセスを模倣する。
• 拡散項を閉じるために、アインシュタインの拡散度をプラントル＝コルモゴロフの定式化に組み込む。
• 断熱的境界条件とそれに続く粒子フラックスバランスから、対数速度則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 渦双極子を準粒子として用いることで、閉じたパrameterフリーのせん断乱流理論を構築できるか？
• RQ2 無限大のレイノルズ数の極限において、フォン・カーマン定数 $ \kappa $ の理論的値は何か？
• RQ3 渦双極子の衝突は、どのようにして乱流拡散とエネルギー散逸の両方を生じさせるか？
• RQ4 固体壁における渦準粒子の運動論的モデルから、対数速度プロファイルが自然に出現するか？
• RQ5 このモデルは、$ \kappa $ の実験的値と定量的にどの程度一致するか？

主な発見

• 理論はフォン・カーマン定数を $ \kappa = (2\pi)^{-1/2} \approx 0.399 $ と予測し、実験的値（約0.4）と非常に良好に一致する。
• 自由均一減衰状態では乱流運動エネルギーが $ t^{-1} $ に比例して減少し、理論的期待と一致する。
• 対数平均速度則は、断熱的境界条件と粒子フラックスバランスから自然に導出される。
• 実験的パrameterなしに、$ K $-$ \Omega $ 乱流閉じ込めモデルを再現でき、正確な一致を示す。
• 理論は混合長の物理的根拠を提供し、それを直接的に渦半径 $ r $ に関連付ける。この $ r $ は、古典的混合長に比例する。
• 運動論方程式 $ \partial_t n = \nabla \cdot (\nu \nabla n) - \beta n^2 $ は、拡散と乱流エネルギーの不可逆的散逸の両方を効果的に記述する。