[論文レビュー] Primitive words and roots of words

Gerhard Lischke|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2011

semigroups and automata theory参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、形式言語理論における原始語とそのルートに関する包括的なサーベイを提供し、組合せ的性質、チョムスキー階層との関係、計算複雑性に焦点を当てる。6種類の異なるルート関数（ルート、sルート、hルート、ssルート、shルート、hhルート）を導入・特徴づけ、すべての6つのルートが異なる語であるLohmann語の存在を証明し、2010年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In the algebraic theory of codes and formal languages, the set $Q$ of all primitive words over some alphabet $\zi $ has received special interest. With this survey article we give an overview about relevant research to this topic during the last twenty years including own investigations and some new results. In Section 1 after recalling the most important notions from formal language theory we illustrate the connection between coding theory and primitive words by some facts. We define primitive words as words having only a trivial representation as the power of another word. Nonprimitive words (without the empty word) are exactly the periodic words. Every nonempty word is a power of an uniquely determined primitive word which is called the root of the former one. The set of all roots of nonempty words of a language is called the root of the language. The primitive words have interesting combinatorial properties which we consider in Section 2. In Section 3 we investigate the relationship between the set $Q$ of all primitive words over some fixed alphabet and the language classes of the Chomsky Hierarchy and the contextual languages over the same alphabet. The computational complexity of the set $Q$ and of the roots of languages are considered in Section 4. The set of all powers of the same degree of all words from a language is the power of this language. We examine the powers of languages for different sets of exponents, and especially their regularity and context-freeness, in Section 5, and the decidability of appropriate questions in Section 6. Section 7 is dedicated to several generalizations of the notions of periodicity and primitivity of words.

研究の動機と目的

• 過去20年間における原始語およびそのルートに関する研究をサーベイ・統合すること。
• チョムスキー階層および文脈依存言語クラス内における原始語の構造的・計算的性質を調査すること。
• 原始語の集合および言語のルートの計算複雑性を分析すること。
• 周期性および原始性の概念を一般化し、語に対して6種類の異なるルート関数を定義すること。
• すべての6つのルートが異なる語の存在を解決することにより、Lohmann語の概念を導入すること。

提案手法

• 原始語を他の語のべきで表せない語として定義し、周期的語を非原始的で空でない語として定義する。
• 接頭語および接尾語の関係に基づき、ルート、sルート、hルート、ssルート、shルート、hhルートの6種類のルート関数を導入する。
• 辞書式最小性を用いて、k=1から6までの最小のkルート語を特定する。
• 組合せ的補題（例：補題58、59、60）を用いて非原始語の特徴づけおよび拡張に関する閉包性を示す。
• 十分条件を用いてLohmann語を構成する：u = w^{k1}vw^{k2}vw^{k1}vw^{k3}vw^{k3−k1} かつ 2 ≤ k1 < k2 < k3 ≤ 2k1。
• 一般化された原始語集合の非文脈自由性および非文脈的言語性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての6つのルート関数（ルート、sルート、hルート、ssルート、shルート、hhルート）が異なる結果を返す語は存在するか？
• RQ2 k=1から6までの各kについて、辞書式最小のkルート語は何か？
• RQ3 k=5およびk=6について、強いkルート語（周期的kルート語）は存在するか？
• RQ4 Lohmann語を構成するための十分条件は必要条件でもあるか？
• RQ5 一般化された原始語集合（例：SQ、HQ、SSQ）は、文脈自由および文脈的言語クラスとどのように関係するか？

主な発見

• 辞書式最小の6ルート語（Lohmann語）は ababaabababaababaababababaabab である。
• 強い6ルート語は存在しないことが、定理56により証明された。
• 最初に発見されたLohmann語は、2010年に Georg Lohmann によって発見され、6つの異なるルートを持つ語の存在を確認した。
• Lohmann語を構成する十分条件は：u = w^{k1}vw^{k2}vw^{k1}vw^{k3}vw^{k3−k1} かつ 2 ≤ k1 < k2 < k3 ≤ 2k1。
• SQ、HQ、SSQ、SHQ、HHQ はすべて非文脈自由であり、いかなる種類の文脈的言語でもない。
• 非原始語を認識するための時間計算量の上限n²は、SQに対して最適であり、他の一般化された集合に対してもおそらく最適であるが、一部については未解決のままである。