[論文レビュー] Principal-agent problem with multiple principals

Kaitong Hu, Zhenjie Ren+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、1人のエージェントが時間とともに複数のプリンシパルの間で最適に切り替わる連続時間のモラルハザードモデルを研究する。バックワードSDEと確率的定式化を用いて、エージェントの価値関数と最適努力の表現を導出し、プリンシパルの数が非常に大きくなる際の平均場ゲーム均衡への収束を確立する。

ABSTRACT

We consider a moral hazard problem with multiple principals in a continuous-time model. The agent can only work exclusively for one principal at a given time, so faces an optimal switching problem. Using a randomized formulation, we manage to represent the agent's value function and his optimal effort by an Itô process. This representation further helps to solve the principals' problem in case we have infinite number of principals in the sense of mean field game. Finally the mean field formulation is justified by an argument of propagation of chaos.

研究の動機と目的

• 1人のエージェントが同時に1つのプリンシパルに対してのみ勤務できるモラルハザード設定をモデル化し、最適切り替え問題を扱う。
• 確率的定式化とバックワードSDE技術を導入することで、古典的なプリンシパル・エージェント枠組みを複数のプリンシパルに拡張する。
• 無限個のプリンシパルの極限において、平均場ゲーム理論を用いてプリンシパルの最適契約問題を解く。
• 新規のバックワード・カオス伝播の議論により、平均場近似を正当化する。
• イト過程としてのエージェントの価値関数と最適努力の取り扱いやすい表現を提供する。

提案手法

• エージェントの問題を、エージェントが確率的にプリンシパルの中から選択する確率的最適切り替え枠組みで定式化する。
• バックワード確率微分方程式（BSDE）を用いて、エージェントの価値関数と最適努力を表現し、動的特徴付けを可能にする。
• エージェントの最適化の双対表現を用い、報酬と努力を、ドライバー $ c^*(Z_t) $ を持つBSDEの解と結びつける。
• 無限個のプリンシパルの極限において、平均場ゲーム定式化を導入し、各プリンシパルは共通の運動法則に従う代表的エージェントと対応する。
• バックワード・カオス伝播の議論を用いて、有限$ n $のプリンシパル問題が平均場解に収束することを確立する。
• グローナルの不等式と大数の法則を活用し、プリンシパルタイプの経験的測度が制限的な平均場分布に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のプリンシパルと1人のエージェントが存在し、エージェントが同時に1つのプリンシパルにのみ勤務可能な状況において、プリンシパル・エージェント問題はどのように拡張可能か？
• RQ2 バックワードSDEと確率的定式化を用いて、エージェントの最適切り替え行動を特徴付けられるか？
• RQ3 プリンシパルの数が無限大に近づく際の契約問題の極限的挙動は何か？
• RQ4 この文脈において、平均場ゲーム定式化をどのように厳密に正当化できるか？
• RQ5 有限$ n $のプリンシパル問題は平均場解に収束するか？また、どのような条件下で収束するか？

主な発見

• バックワードSDEによる表現を通じて、エージェントの価値関数と最適努力がイト過程として表現され、最適契約の動的特徴付けが可能になる。
• 最適努力 $ \alpha^*_t $ は $ \arg\max_a \{ aZ_t - c(a) \} $ で与えられ、ここで $ Z_t $ はBSDE解の martingale 部分である。
• 有限$ n $のプリンシパル問題は $ n \to \infty $ の際に平均場ゲーム均衡に収束し、収束速度は $ \mathbb{E}[d^2_0(p^n, p^*)] \leq C(\mathbb{E}[d^2_0(\nu^n, p^*)] + n^{-2}) $ で制御される。
• バックワード・カオス伝播が確立され、プリンシパルタイプの経験的測度が制限的な平均場分布に収束することが示された。
• 有限$ n $における各プリンシパルの価値関数は平均場ゲーム価値に収束し、その極限は $ \mathbb{E}\left[\int_0^T \beta^*_u(\alpha^*_u W^i_u - U(\theta^i_u) + 1)du + \beta^*_T(W^i_T - U(Y^{*,i}_T))\right] $ で与えられる。
• 効用関数および費用関数の有界性とリプシッツ連続性の仮定の下で収束が証明され、平均場極限の安定性が保証される。