[論文レビュー] Principal basis in Cartan subalgebra

Rudolf P. Rohr|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、単純な複素リー代数におけるカルタン部分代数の主基底を、ウェイルベクトルの双対における不変多項式の勾配を用いて構成する手法を提示する。これらの勾配にグラム・シュミット直交化を適用することで主基底が得られ、同様の構成によりウェイルベクトルで評価した場合、ラングランズ双対リー代数に対しても主基底が得られる。本手法は、$l$ が偶数である $\\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ の場合に明示的に検証されており、図形自己同型を用いた修正により一意性が保証される。

ABSTRACT

Let $\Lie{g}$ be a simple complex Lie algebra and $\Lie{h}$ a Cartan subalgebra. In this article we explain how to obtain the principal basis of $\Lie{h}$ starting form a set of generators $\{p_1,...,p_r\}$,$r= ank(\Lie{g})$, of the invariants polynomials $\Sgg$. For each invariant polynomial $p$, we define a $G$-equivariant map $Dp$ form $\Lie{g}$ to $\Lie{g}$. We show that the Gram-Schmidt orthogonalization of the elements $\{Dp_1(ρ^\vee), ... Dp_r(ρ^\vee) \}$ gives the principal basis of $\Lie{h}$. Similarly the orthogonalization of the elements $\{Dp_1(ρ), >... Dp_r(ρ) \}$ produces the principal basis of the Cartan subalgebra of $\lLie{g}$, the Langlands dual of $\Lie{g}$.

研究の動機と目的

• 不変多項式環 $S(\mathfrak{g}^*)^\mathfrak{g}$ の生成子を用いて、カルタン部分代数の主基底を体系的に構成する手法を提供すること。
• 図形自己同型 $\sigma$ を用いた修正を導入することで、$l$ が偶数の $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ における主基底の非一意性を解消すること。
• $\rho$ および $\rho^\vee$ での評価を通じて、リー代数 $\mathfrak{g}$ の主基底とそのラングランズ双対 $\mathfrak{g}^\vee$ の主基底との対応関係を確立すること。
• 不変多項式の勾配が $\rho^\vee$ で評価された場合に、それがカルタン部分代数を張り、直交化を施すことで主基底が得られることを示すこと。

提案手法

• 各生成子 $p_i$ に対して、$p_i$ の微分として定義される $G$-等変写像 $Dp_i: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ を定義する。
• 写像 $Dp_i$ を $\rho^\vee$、すなわち正のコルートの和に評価し、$\mathfrak{g}$ の元を得る。
• 不変な双線形形式 $B$ を用いて $\mathfrak{g}$ を $\mathfrak{g}^*$ と同一視し、$Dp_i(\rho^\vee)$ を $\mathfrak{g}$ の元として扱う。
• $\{Dp_1(\rho^\vee), \dots, Dp_r(\rho^\vee)\}$ の集合に対してグラム・シュミット直交化を適用し、$\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ の主基底を得る。
• ラングランズ双対 $\mathfrak{g}^\vee$ の場合、$Dp_i(\rho)$ を評価し、同様に直交化を施して $\mathfrak{h}^\vee \subset \mathfrak{g}^\vee$ の主基底を得る。
• $l$ が偶数である $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ の場合、基底元が図形自己同型 $\sigma$ の固有ベクトルであるという条件を課すことで一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変多項式環 $S(\mathfrak{g}^*)^\mathfrak{g}$ の生成子から、カルタン部分代数の主基底を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 ウェイルベクトル $\rho^\vee$ は、不変多項式の勾配を用いた主基底の生成において果たす役割は何か？
• RQ3 $l$ が偶数の $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ において主基底が一意でないのはなぜで、その曖昧さはどのように解消できるか？
• RQ4 リー代数 $\mathfrak{g}$ の主基底の構成とそのラングランズ双対 $\mathfrak{g}^\vee$ の主基底との関係は何か？
• RQ5 図形自己同型 $\sigma$ による不変性を要求することで、$\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ における主基底を一意に定めることは可能か？

主な発見

• $\{Dp_1(\rho^\vee), \dots, Dp_r(\rho^\vee)\}$ は、定理 4.3 で示されるように、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ の基底をなす。
• グラム・シュミット直交化を施した後、$Dp_i(\rho^\vee)$ は定理 4.3(b) で述べられるように、$\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ の主基底 $\{h_1, \dots, h_r\}$ を与える。
• $\{Dp_1(\rho), \dots, Dp_r(\rho)\}$ は、定理 4.8 で示されるように、ラングランランズ双対リー代数 $\mathfrak{g}^\vee$ のカルタン部分代数 $\mathfrak{h}^\vee$ の基底をなす。
• 直交化を施した後、$Dp_i(\rho)$ は $\mathfrak{h}^\vee \subset \mathfrak{g}^\vee$ の主基底を生成し、双対性構成が完成する。
• $l$ が偶数の $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ では、同じ次元の2つの非可約 $\mathfrak{s}_0$-加群が存在するため、主基底は一意でないが、図形自己同型 $\sigma$ での固有ベクトル性を要求することで一意性が回復する。
• 特に $\mathfrak{so}(2l,\mathbb{C})$ の場合、$Dp_i(\rho^\vee)$ は $Dp_e(\rho^\vee)$ と直交し、$Dp_e(\rho^\vee)$ は $\sigma$-不変固有空間 $\mathfrak{g}_1$ に属するが、他の要素は $\mathfrak{g}_0$ に属する。これは命題 5.4 で示されている。