[論文レビュー] Principal bundle structure of matrix manifolds

Billaud-Friess, Marie, Antonio Falcó+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、固定ランク行列多様体のための幾何的枠組みを提案する。$ r $-ランク行列の集合 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ に、多様体そのものに直接インデックスが付く局所座標系を用いて、一意な行列表現を保証する解析的主 bundle 構造を導入する。主な貢献は、標準的な行列ノルム位相とは異なる、行列ランクが連続となる位相 $ \tau_{B_{n,m,r}} $ を $ \mathbb{R}^{n\times m} $ に導入することであり、その下で行列の近傍は自然にリー群構造を有する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new geometric description of the manifolds of matrices of fixed rank. The starting point is a geometric description of the Grassmann manifold $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^k)$ of linear subspaces of dimension $r<k$ in $\mathbb{R}^k$ which avoids the use of equivalence classes. The set $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^k)$ is equipped with an atlas which provides it with the structure of an analytic manifold modelled on $\mathbb{R}^{(k-r) imes r}$. Then we define an atlas for the set $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{k imes r})$ of full rank matrices and prove that the resulting manifold is an analytic principal bundle with base $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^k)$ and typical fibre $\mathrm{GL}_r$, the general linear group of invertible matrices in $\mathbb{R}^{k imes k}$. Finally, we define an atlas for the set $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$ of non-full rank matrices and prove that the resulting manifold is an analytic principal bundle with base $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^n) imes \mathbb{G}_r(\mathbb{R}^m)$ and typical fibre $\mathrm{GL}_r$. The atlas of $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$ is indexed on the manifold itself, which allows a natural definition of a neighbourhood for a given matrix, this neighbourhood being proved to possess the structure of a Lie group. Moreover, the set $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$ equipped with the topology induced by the atlas is proven to be an embedded submanifold of the matrix space $\mathbb{R}^{n imes m}$ equipped with the subspace topology. The proposed geometric description then results in a description of the matrix space $\mathbb{R}^{n imes m}$, seen as the union of manifolds $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$, as an analytic manifold equipped with a topology for which the matrix rank is a continuous map.

研究の動機と目的

• 同値類に依存せず、標準的なリーマン埋め込みに依存しない固定ランク行列多様体の幾何的記述を構築すること。
• 標準位相 $ \tau_{\mathbb{R}^{n\times m}} $ における行列ランクの不連続性を、局所座標による新しい位相の導入によって解消すること。
• 多様体そのものにインデックスが付く局所座標系を用いて、$ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 内の行列の自然で一意なパラメータ化 $ Z = U G V^T $ を提供すること。
• 新しい位相の下で、集合 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ が $ \mathbb{R}^{n\times m} $ の埋め込まれた解析的部分多様体であることを確立すること。
• 行列 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ の近傍が、多様体の幾何と整合する自然なリー群構造を有することを示すこと。

提案手法

• 正規直交補空間を用いて、$ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^k) $ のグラスマン多様体のアトラスを定義し、同値類を避けるように $ \mathbb{R}^{(k-r)\times r} $ にモデル化する。
• 行列 $ Z = U G V^T $ を中心とする $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ の局所座標 $ \theta_Z $ を構成し、$ \mathbb{R}^{(n-r)\times r} \times \mathbb{R}^{(m-r)\times r} \times \mathrm{GL}_r $ への写像とする。正規直交射影子 $ U_\perp, V_\perp $ を用いる。
• 遷移写像が解析的微分同相写像であることを用いて、$ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ が $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^n) \times \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^m) $ 上の解析的主 bundle であり、ファイバーが $ \mathrm{GL}_r $ であることを証明する。
• 局所座標 $ \theta_Z $ を用いて、近傍 $ U_Z $ 上に群演算 $ \star_Z $ を定義する：$ \theta_Z^{-1}(X,Y,G) \star_Z \theta_Z^{-1}(X',Y',G') = \theta_Z^{-1}(X+X', Y+Y', GG') $ とし、これにより $ U_Z $ がリー群となることを示す。
• 逆関数定理を用いて、新しい位相 $ \tau_{B_{n,m,r}} $ の下で包含写像 $ i: M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) \to \mathbb{R}^{n\times m} $ が位相的埋め込みであることを示す。
• 接写像 $ T_Z i $ を明示的に $ \dot{Z} = U_\perp \dot{X} G V^T + U G (V_\perp \dot{Y})^T + U \dot{G} V^T $ として導出し、線形同型写像であり、明示的な逆写像を持つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定ランク行列の集合 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ に、同値類を避けて一意な局所パラメータ化を保証する幾何的構造を導入できるか？
• RQ2 提案されたアトラスが、行列ランク写像が連続となるような $ \mathbb{R}^{n\times m} $ 上の位相を誘導するか？
• RQ3 行列 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ の近傍 $ U_Z $ に、多様体の幾何と整合する自然なリー群構造を導入できるか？
• RQ4 新しいアトラス誘導位相の下で、$ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ の $ \mathbb{R}^{n\times m} $ への包含写像が位相的埋め込みであるか？
• RQ5 行列 $ Z = U G V^T $ における接空間はどのように分解され、$ \mathbb{R}^{(n-r)\times r} \times \mathbb{R}^{(m-r)\times r} \times \mathbb{R}^{r\times r} $ との線形同型写像が明示的に特徴付けられるか？

主な発見

• 同値類を用いず、$ \mathbb{R}^{(k-r)\times r} $ にモデル化された新しい解析的多様体構造を、グラスマン多様体 $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^k) $ に与える。
• $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ が、多様体そのものにインデックスが付く座標系を用いて、ファイバーが $ \mathrm{GL}_r $ である解析的主 bundle であることが証明される。
• アトラス誘導位相 $ \tau_{B_{n,m,r}} $ の下で、包含写像 $ i: M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) \to \mathbb{R}^{n\times m} $ は位相的埋め込みであり、$ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ は埋め込まれた部分多様体である。
• 行列 $ Z = U G V^T $ における接写像 $ T_Z i $ は線形同型写像であり、その逆写像は $ (T_Z i)^{-1}(\dot{Z}) = (U_\perp^+ \dot{Z} (V_+)^T G^{-1}, V_\perp^+ \dot{Z}^T (U_+)^T G^{-T}, U_+ \dot{Z} (V_+)^T) $ として明示的に与えられる。
• $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ の近傍 $ U_Z $ が $ \mathbb{R}^{(n-r)\times r} \times \mathbb{R}^{(m-r)\times r} \times \mathrm{GL}_r $ に微分同相であり、群演算 $ \star_Z $ を通じてリー群構造を自然に有することが示される。
• 写像 $ \eta_Z: U_Z \to \mathrm{GL}_r \times \mathrm{GL}_r \times \mathrm{GL}_r $ を $ \eta_Z(\theta_Z^{-1}(X,Y,H)) = (\exp(U_\perp X U^+), \exp(V_\perp Y V^+), H) $ で定義すると、これはリー群同型写像であり、$ U_Z $ 上のリー群構造を確認する。