[論文レビュー] Principal bundles on elliptic fibrations

Ron Donagi|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、楕円曲線にパラメータ付けられた多様体上の主G束のモジュライ空間を研究するための新しい代数幾何的手法を導入する。この手法により、モジュライ空間が、被覆のスペクトルのパラメータをとる重み付き射影空間の上にファイバーする構造を持つことが示され、ファイバーはPrym多様体の平行移動と同型である。好都合な場合、一般のPrym多様体は、有限群と被覆のPicard群のアーベル部分多様体の積にアイソジェニであることが示される。

ABSTRACT

A central role in recent investigations of the duality of F-theory and heterotic strings is played by the moduli of principal bundles, with various structure groups G, over an elliptically fibered Calabi-Yau manifold on which the heterotic theory is compactified. In this note we propose a simple algebro-geometric technique for studying the moduli spaces of principal G-bundles on an arbitrary variety X which is elliptically fibered over a base S: The moduli space itself is naturally fibered over a weighted projective base parametrizing spectral covers $ ilde{S}$ of S, and the fibers are identified as translates of distinguished Pryms of these covers. In nice situations, the generic Prym fiber is isogenous to the product of a finite group and an abelian subvariety of $Pic( ilde{S})$.

研究の動機と目的

• 楕円曲線ファイブレーションされたカーボリ＝ヤウ多様体上の主G束のモジュライ空間を分析するための体系的な代数幾何的枠組みを構築すること。
• F理論とへテロティック弦理論の双対性の文脈において、このような束が中心的役割を果たす中で、モジュライ空間を理解する課題に取り組むこと。
• 基底表面Sのスペクトル被覆をパラメータ化する基底の上に、モジュライ空間のファイブレーション構造を明確にすること。
• このファイブレーションのファイバーが、それぞれの被覆に付随するPrym多様体の平行移動と同型であることを特定すること。
• 特にそのアイソジェニ型としての構造を特定することを含め、好都合な幾何的設定における一般ファイバーの構造を同定すること。

提案手法

• 基底表面Sのスペクトル被覆$\tilde{S}$をパラメータ化する重み付き射影基底の上に、G束のモジュライ空間のファイブレーションを構築する。
• このファイブレーションの各ファイバーを、それぞれのスペクトル被覆$\tilde{S} \to S$に付随するPrym多様体の平行移動と特定する。
• スペクトル被覆の構成を用いて、G束のモジュライと$\tilde{S}$上の線分束の幾何を関連づけ、被覆の性質を活用する。
• 代数幾何的技法を用いてPrym多様体の構造、特にそのアイソジェニ類を分析する。
• 適切な仮定の下で、一般ファイバーが有限群と$\mathrm{Pic}(\tilde{S})$のアーベル部分多様体の積にアイソジェニであることを特徴付ける。
• スペクトル被覆のPicard群の構造を用いて、双対性および線分束論を通じてモジュライ空間の性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線ファイブレーションされた多様体上の主G束のモジュライ空間は、どのようにしてスペクトル被覆をパラメータ化する基底の上にファイバー化できるか？
• RQ2 このファイブレーションにおけるファイバーの幾何的性質は何か？ そして、それらはPrym多様体とどのように関係しているか？
• RQ3 どのような条件下で、モジュライファイブレーションの一般ファイバーが、有限群と$\mathrm{Pic}(\tilde{S})$のアーベル部分多様体の積にアイソジェニになるか？
• RQ4 スペクトル被覆の構成は、F理論／へテロティック双対性の文脈におけるG束モジュライの研究をどのように支援するか？
• RQ5 重み付き射影基底は、楕円曲線ファイブレーション上の主束のモジュライ空間をどのように整理するか？

主な発見

• 楕円曲線ファイブレーションされた多様体上の主G束のモジュライ空間は、自然に、基底表面Sのスペクトル被覆をパラメータ化する重み付き射影基底の上にファイバー化される。
• このファイブレーションの各ファイバーは、対応するスペクトル被覆$\tilde{S} \to S$に付随するPrym多様体の平行移動と同型である。
• 好都合な幾何的状況では、ファイブレーションの一般ファイバーは、有限群と$\mathrm{Pic}(\tilde{S})$のアーベル部分多様体の積にアイソジェニである。
• スペクトル被覆の構成は、G束のモジュライと$\tilde{S}$上の線分束の幾何の間の直接的な関係を提供し、体系的な解析を可能にする。
• この手法により、モジュライ空間にグローバルなファイブレーション構造が得られ、その幾何および位相的性質の研究が簡素化される。
• 本研究の結果は、楕円曲線ファイブレーションされたカーボリ＝ヤウ3-foldへのF理論コン팩ティフィケーションにおけるG束モジュライを理解するための基盤的枠組みを提供する。