[論文レビュー] Principal Component Analysis for Functional Data on Riemannian Manifolds and Spheres

Xiongtao Dai, Hans‐Georg Müller|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Geochemistry and Geologic Mapping参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、滑らかなリーマン多様体、特に球面上の関数データの次元削減のための新しい内在的アプローチであるリーマン関数的主成分分析（RFPCA）を提案する。多様体値曲線をリーマン対数写像によって接空間に写像し、古典的FPCAを適用した後、指数写像によって元の空間に再投影することで、非負の曲率のもとで根$n$-一様収束性と中心極限定理を達成し、軌道回復および分類予測において制限のないFPCAを上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Functional data analysis on nonlinear manifolds has drawn recent interest. Sphere-valued functional data, which are encountered for example as movement trajectories on the surface of the earth, are an important special case. We consider an intrinsic principal component analysis for smooth Riemannian manifold-valued functional data and study its asymptotic properties. Riemannian functional principal component analysis (RFPCA) is carried out by first mapping the manifold-valued data through Riemannian logarithm maps to tangent spaces around the time-varying Fréchet mean function, and then performing a classical multivariate functional principal component analysis on the linear tangent spaces. Representations of the Riemannian manifold-valued functions and the eigenfunctions on the original manifold are then obtained with exponential maps. The tangent-space approximation through functional principal component analysis is shown to be well-behaved in terms of controlling the residual variation if the Riemannian manifold has nonnegative curvature. Specifically, we derive a central limit theorem for the mean function, as well as root-$n$ uniform convergence rates for other model components, including the covariance function, eigenfunctions, and functional principal component scores. Our applications include a novel framework for the analysis of longitudinal compositional data, achieved by mapping longitudinal compositional data to trajectories on the sphere, illustrated with longitudinal fruit fly behavior patterns. RFPCA is shown to be superior in terms of trajectory recovery in comparison to an unrestricted functional principal component analysis in applications and simulations and is also found to produce principal component scores that are better predictors for classification compared to traditional functional functional principal component scores.

研究の動機と目的

• 滑らかなリーマン多様体値関数データに対する理論的裏付けが整った内在的関数的主成分分析の開発。
• 曲がった非線形空間における関数データ解析の既存手法に理論的正当性が欠如している問題の解決。
• 古典的FPCAを非ユークリッド多様体へ拡張するが、対数写像と指数写像を用いて幾何構造を保持する。
• 非負の曲率のもとで、根$n$-一様収束性と中心極限定理を含む漸近的性質の確立。
• 軌道回復および分類予測の観点で、制限のないFPCAに比べて優れた性能を示すことの実証。

提案手法

• 時間的に変化するフレシェ平均の周囲の接空間に、リーマン対数写像を用いて多様体値関数データを写像する。
• 線形接空間上で古典的多変量関数的主成分分析を実行する。
• リーマン指数写像を用いて、元の多様体値関数および固有関数を再構築する。
• 多様体上の測地線距離の最小化により残差変動を制御し、非負の曲率のもとで良好な近似を保証する。
• 時間的に変化する接空間の整合性を保つために、フレシェ平均関数を中央基準点として用いる。
• テイラー展開や行列微分を用いた理論的道具を適用し、収束速度および漸近分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的主成分分析を、多様体値関数データへ体系的に拡張可能か、かつ内在的幾何を尊重できるか。
• RQ2 この内在的枠組みにおける平均関数、共分散、固有関数、スコアの漸近的性質は何か。
• RQ3 基盤となる多様体の曲率は、提案手法の収束行動にどのように影響するか。
• RQ4 RFPCAは、軌道回復および予測性能の観点で、制限のないFPCAを上回るか。
• RQ5 縦断的コンpositionsデータは、この枠組みを用いて球面上の関数的データとして効果的にモデル化可能か。

主な発見

• 非負の曲率のもとで、平均関数、共分散関数、固有関数、関数的主成分スコアについて、根$n$-一様収束率を達成する。
• 時間的に変化するフレシェ平均関数について中心極限定理が確立され、漸近的正規性が保証される。
• 多様体の曲率が非負である場合、RFPCAによる接空間近似は残差変動を効果的に制御する。
• シミュレーションおよび実データ（飛行経路、ハエの行動など）において、RFPCAは制限のないFPCAに比べて顕著に優れた軌道回復性能を示す。
• RFPCAから得られる関数的主成分スコアは、古典的FPCAのスコアよりも分類タスクの予測に優れている。
• 本手法は縦断的コンポジションデータを球面上の軌道に効果的にマッピングでき、その分析のための新規な枠組みを提供する。