[論文レビュー] Principal series representations of metaplectic groups over local fields

Peter J. McNamara|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非離散局所体上の分裂再帰的群の $ \mu_n $ による中心拡大であるメタプレクティック群—特に $ n $ が正則である条件下で—の主系列表現の理論を展開する。メタプレクティック・サタケ同型を確立し、再帰的でない非単連結な被覆に対しても一般化された組合せ的双対群を導入することで、ヘッケ代数構造およびカテゴライズド幾何的構成を用いてラングランズ関手性をこの設定へ拡張する。

ABSTRACT

Let G be a split reductive algebraic group over a non-archimedean local field. We study the representation theory of a central extension $\G$ of G by a cyclic group of order n, under some mild tameness assumptions on n. In particular, we focus our attention on the development of the theory of principal series representations for $\G$ and applications of this theory.

研究の動機と目的

• メタプレクティック群、すなわち $ \mu_n $ による分裂再帰的群の中心拡大である群に対して、$ n $ が正則であるという仮定の下で主系列表現理論を拡張すること。
• サタケ同型をメタプレクティック設定に一般化し、球的ヘッケ代数とメタプレクティック被覆の双対群との間の関係を確立すること。
• 再帰的でなく、単連結でもない被覆に対しても、古典的なラングランズ双対群構成を拡張した組合せ的双対群をメタプレクティック群に対して定義すること。
• 特にイワヒョリおよび球的の場合に、ヘッケ代数の同型を用いてメタプレクティック群の表現を関連付けるフレームワークを提供すること。
• 代数的ヘッケ代数構造と、アフィングラスマンニアン上の torsor 上の perverse sheaf などの幾何的構成とを結びつけること。

提案手法

• 局所体 $ F $ の整数環 $ O_F $ 上の再帰的群 $ \mathbf{G} $ のコキャラクターおよびコルートデータを用いて、$ \widetilde{G} $ を $ G $ への $ \mu_n $ による中心拡大として構成する。
• ストーン＝フォン・ノイマンの定理を適用し、非アーベル的構造にもかかわらず、メタプレクティックトーラスの既約表現が有限次元であることを示す。
• メタプレクティック群 $ \widetilde{G} $ のボレル部分群の逆像から主系列表現を誘導し、古典的構成をメタプレクティック被覆へ一般化する。
• これらの誘導表現に対してジャケットモジュールおよび相互作用作用素を発展させ、標準的な表現論的道具をメタプレクティック設定に適応する。
• イワヒョリおよび最大コンパクト部分群 $ K = \mathbf{G}(O_F) $ を用いて、反真性でコンパクト台を持つ関数からなるヘッケ代数を定義し、生成子と関係式を用いて記述する。
• メタプレクティック・サタケ同型（定理 10.1）を確立し、被覆のルートデータから双対群 $ \widetilde{G}^\vee $ を構成することで、ラングランズ双対群の構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分裂的中心拡大であるメタプレクティック群に対して、主系列表現理論をどのように拡張できるか？
• RQ2 イワヒョリおよび球的ヘッケ代数の構造は何か？ また、それらは双対群とどのように関係するか？
• RQ3 再帰的でないメタプレクティック群に対しても、古典的なラングランズ双対群を拡張した組合せ的双対群を定義できるか？
• RQ4 サタケ同型およびヘッケ代数の同型は、異なるメタプレクティック群の表現の間の対応をどのように促進するか？
• RQ5 メタプレクティック双対群の幾何的実現は何か？ また、アフィングラスマンニアン上の $ \mathbb{G}_m $-torsor 上の perverse sheaf とどのように関係するか？

主な発見

• メタプレクティック・サタケ同型（定理 10.1）により、球的ヘッケ代数 $ \mathcal{H}(\widetilde{G}, K) $ と双対群 $ \widetilde{G}^\vee $ の表現環との間に自然な同型が与えられる。
• イワヒョリ・ヘッケ代数 $ \mathcal{H}(\widetilde{G}, I) $ は、生成子と関係式による表示を備えており、特に定理 12.4 に示されるように $ T_\lambda $ と $ T_s $ を含む明示的な関係式が存在する。
• 双対群 $ \widetilde{G}^\vee $ は、メタプレクティック被覆の二次形式 $ Q $ から導かれるルート系を持つ複素再帰的群であり、古典的双対群構成を拡張する。
• 同型な双対群 $ \widetilde{G}^\vee \cong \widetilde{H}^\vee $ は、イワヒョリ・ヘッケ代数の同型 $ \mathcal{H}_\epsilon(\widetilde{G}, I) \cong \mathcal{H}_\epsilon(\widetilde{H}, I) $ をもたらすことが、系 13.1 で示された。
• アフィングラスマンニアン上の $ \mathbb{G}_m $-torsor 上の perverse sheaf を用いたカテゴライズド・メタプレクティック・サタケ同型により、$ \widetilde{G}^\vee $ は等変 perverse sheaf のテンソルカテゴリの対称性の群として実現される。
• 双対群の構成は、$ F^\times $ が $ 2n $ 乗根を含み、$ 2n $ が残渣の特異的特徴と互いに素であるという仮定のもとで有効である。