[論文レビュー] Principles of Delta and Nabla Fractional Differences

Thabet Abdeljawad, Saudi Arabia|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、nabla右分数級和分および差分を導入し、部分積分の公式を導出し、nablaおよびdelta分数級作用素間の双対的恒等式を確立する。AbdeljawadとBaleanuによるdelta右分数級差分定義がより適切であることが示され、deltaおよびnablaの部分積分公式の整合性が保証される。

ABSTRACT

We define nabla right fractional sum and difference and obtain a nabla integration by parts formula. Some properties of nabla and delta fractional sums and differences are obtained to derive dual identities between the nabla and delta ones and other Q-dual identities to relate left and right ones. These dual identities give the impression that the definition of the delta right fractional difference presented by Abdeljawad and Baleanu in (1) and (12) are more appropriate than those introduced by other authors. Hence, the delta integration by parts formula formulated in (12) and the nabla one presented in this article are consistent.

研究の動機と目的

• 離散分数級積分の文脈でnabla右分数級和分および差分を定義すること。
• 分数級差分に対してnabla部分積分の公式を導出すること。
• nablaおよびdelta分数級作用素間の双対的恒等式を確立すること。
• Q双対的恒等式を用いて左および右分数級差分を関連付けること。
• AbdeljawadとBaleanuによるdelta右分数級差分定義の適切さを検証すること。

提案手法

• 離散積分および差分作用素を用いてnabla右分数級和分および差分を定義する。
• 分数級順序の差分に対してnabla部分積分の公式を導出する。
• nablaおよびdelta分数級作用素を関連付ける双対的恒等式を構築する。
• 左および右分数級差分を結びつけるためにQ双対的恒等式を導入する。
• 代数的変形および作用素の双対性を用いて、nablaおよびdeltaフレームワーク間の一貫性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散分数級積分の文脈で、nabla右分数級和分および差分はどのように形式的に定義できるか？
• RQ2 分数級差分に対するnabla部分積分の公式の構造はどのようなものか？
• RQ3 nablaおよびdelta分数級作用素間の双対的恒等式は、構造的一致性をどのように明らかにするか？
• RQ4 AbdeljawadとBaleanuによるdelta右分数級差分定義の優位性を裏付ける証拠は何か？
• RQ5 Q双対的恒等式は、左および右分数級差分作用素をどのように統合するか？

主な発見

• nabla右分数級和分および差分作用素が形式的に定義され、一貫性のある離散分数級積分が可能になった。
• 有効なnabla部分積分の公式が導出され、さらなる解析的応用を支援する。
• nablaおよびdelta分数級作用素間の双対的恒等式が確立され、構造的対称性が明らかになった。
• Q双対的恒等式により、左および右分数級差分が効果的に関連づけられ、作用素の双対性が強化された。
• AbdeljawadとBaleanuによるdelta右分数級差分定義が、nablaフレームワークと整合することから、より適切であると検証された。