[論文レビュー] Principles of Locally Conformally Kahler Geometry

Liviu Ornea, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2022

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、カレル被覆、重みバンドル、自動形式を用いて、局所的にコンフォーマルなケーラー（LCK）幾何学の包括的な理論的枠組みを提示する。ホッジ理論およびバイスマン幾何学における基礎的結果を確立し、コンパクトなバイスマン多様体が標準的なファイブレーションを備え、構造定理に従って分解されることを証明する。また、特に関連する正則ファイブレーションおよびLCK多様体上の平坦なアフィン構造への応用が示される。

ABSTRACT

An LCK (locally conformally Kahler) manifold is a complex manifold admitting a Kahler covering with monodromy acting by homotheties. Hopf manifolds and their submanifolds are the prime examples. This book presents an introduction to the principles of LCK geometry (the first two parts) and its current situation (the last part). It is supposed to be accessible to master and graduate students of complex geometry. The book contains many exercises of different levels of difficulty. We finish it by a list of open questions.

研究の動機と目的

• Kähler被覆、重みバンドル、自動形式を用いて、局所的にコンフォーマルなケーラー（LCK）多様体の複数の定義を統一・体系化すること。
• 特に調和形式およびリー形式に注目し、LCKおよびバイスマン多様体におけるホッジ理論およびコホモロジーの基礎的結果を確立すること。
• コンパクトなバイスマン多様体の幾何学的・位相的構造を調査し、その空間に適用される構造定理に至ること。
• 正則ファイブレーション、平坦なアフィン構造、LCK多様体のモノドロミーに関する未解決問題を検討すること。特に、ボーイユ型定理および分解された接バンドルに関連して。

提案手法

• Galois理論およびデック変換群を用いたKähler被覆を活用し、離散的群作用によるKähler多様体の商としてLCK多様体を定義する。
• 重みバンドルおよび同位変換特徴を導入し、LCK構造を自動形式およびケーラー計量の共形変換に関連付ける。
• Ehresmann接続およびFrobeniusの定理を用いて、LCK幾何学の文脈におけるファイブレーションおよび可積分性を研究する。
• リーマン＝ヒルベルト対応を用いて平坦接続および局所系を関連付け、特に正則ベクトルバンドルの研究に応用する。
• Calabiの公式およびChern接続を用いて、LCK多様体上の正則ラインバンドルの曲率および正性を分析する。
• de Rhamの分解定理および円錐的リーマン計量を用いて、バイスマン多様体のホロノミーおよび局所的構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイスマン多様体上の任意の対数的ファイブレーションは常に横断的にケーラー構造を持つのか。また、それは常にタイトであるのか。
• RQ2 コンパクトな葉を一切持たない滑らかな1次元正則ファイブレーションを持つバイスマン多様体は存在するのか。
• RQ3 分解された接バンドル（TM = ⊕Li）を持つ非バイスマンLCK多様体は存在するのか。また、各Liが平坦な正則接続をもつための条件は何か。
• RQ4 複素アフィンLCK多様体上の平坦接続のモノドロミーは常にアーベル群か。
• RQ5 LCK計量を持つすべての複素かつ完全なアフィン多様体は、ヘイゼンベルク型のバイスマン-nil多様体として得られるのか。

主な発見

• コンパクトなバイスマン多様体の構造定理により、標準的なファイブレーションが存在し、ケーラー基底と円周作用を含む積型構造への多様体の分解が確立される。
• バイスマン多様体上の調和1次微分形式は、リー形式とその直交補空間内のコホモロジー類の直和に分解され、精緻化されたホッジ分解が得られる。
• ランク1のバイスマン構造は、リー形式に双対なグローバルなキリングベクトル場の存在によって特徴づけられ、このような多様体は局所的にケーラー円錐に等長である。
• OT多様体および対角的ホフ多様体の接バンドルは、平坦な正則ラインバンドルに分解され、これらのバンドルは平坦な接続をもつ。
• 既知のすべての複素かつ完全なアフィンLCK多様体は、ヘイゼンベルク型のバイスマン-nil多様体であるため、分類の制約が示唆される。
• 既知のLCK多様体（例：バイスマン-nil多様体、ホフ多様体、OT多様体）における平坦接続のモノドロミーはすべてアーベル群であるが、これは普遍的に成り立つのかという未解決の問題を提起する。