[論文レビュー] Prior Distributions for the Bradley-Terry Model of Paired Comparisons

J. T. Whelan|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2017

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ペアワイズ比較におけるBradley-Terryモデルの事前分布を提案および評価し、チーム実力評価のベイズ推論に焦点を当てる。チームの入れ替えに対する不変性、勝敗の対称性、正規化可能性、およびチーム削除に対する不変性という4つの望ましい性質を満たす1パラメータの独立した事前分布（対数実力に対するガウス分布およびタイプIII一般化ロジスティック分布）を同定する。

ABSTRACT

The Bradley-Terry model assigns probabilities for the outcome of paired comparison experiments based on strength parameters associated with the objects being compared. We consider different proposed choices of prior parameter distributions for Bayesian inference of the strength parameters based on the paired comparison results. We evaluate them according to four desiderata motivated by the use of inferred Bradley-Terry parameters to rate teams on the basis of outcomes of a set of games: invariance under interchange of teams, invariance under interchange of winning and losing, normalizability and invariance under elimination of teams. We consider various proposals which fail to satisfy one or more of these desiderata, and illustrate two proposals which satisfy them. Both are one-parameter independent distributions for the logarithms of the team strengths: 1) Gaussian and 2) Type III generalized logistic.

研究の動機と目的

• ペアワイズ比較に基づくチーム評価システムにおけるベイズ推論に適したBradley-Terryモデルの事前分布を同定すること。
• チームの入れ替え、勝敗の入れ替え、正規化可能性、チーム削除に対する不変性という4つの主要な望ましい性質を満たすかを評価する。
• 一般的に用いられる事前分布（ハルデーン、ジェファレズ、ディリクレ、共役事前分布など）が、そのいずれかの望ましい性質を満たさないことを示すこと。
• すべての4つの望ましい性質を満たす2つの事前分布族（ガウス分布およびタイプIII一般化ロジスティック分布）を提案および検証すること。
• これらの事前分布が、スポーツや順位付けの応用分野におけるペアワイズ比較モデルにおいて、一貫性があり不変的かつ正則化された推論を可能にすることを示すこと。

提案手法

• チームの対数実力 $\lambda_i = \ln \pi_i$ に対する独立した事前分布を提案し、チームの入れ替えに対して不変であり、勝敗の対称性を満たすようにする。
• Bradley-Terryモデルを対数オッズ比 $\theta_{ij} = (1 + e^{-\gamma_{ij}})^{-1}$ で表現する。ここで $\gamma_{ij} = \lambda_i - \lambda_j$ である。
• ヤコビアン変換を用いて $\boldsymbol{\gamma}$ 上の事前密度を導出し、$\boldsymbol{\gamma}$ の異なる基底に対しても等価性を保証する。
• チーム削除に対する不変性を保証するため、$f_{\boldsymbol{\Lambda}}(\boldsymbol{\lambda}|I) = \prod_{i=1}^t f_{\Lambda_i}(\lambda_i|I)$ の形をとる分離可能な事前分布を検討する。
• 変数 $\zeta_i = (1 + e^{-\lambda_i})^{-1}$ を用いてベータ-分離可能な事前分布族を分析し、タイプIV一般化ロジスティック事前分布が得られ、$\alpha_i = \beta_i = \eta$ のときタイプIIIに簡略化される。
• 得られた事後分布が、中立的チームとの $\eta$ 勝利および $\eta$ 敗北という架空の試合を加えたものと等価であることを示し、頻度主義的手法への直接的な接続を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bradley-Terryモデルにおけるチーム実力の事前分布として、チームの入れ替えおよび勝敗の入れ替えに対して不変性を満たすものは何か？
• RQ2 不要なチームをモデルから削除しても、有効かつ正規化可能なまま残るような事前分布は構築可能か？
• RQ3 ハルデーン、ジェファレズ、ディリクレなどの標準的でない事前分布が、チーム評価応用における望ましい性質を満たさないのはなぜか？
• RQ4 対称性と不変性を保ちつつ正規化可能であるような、対数実力における1パラメータの事前分布族をどのように設計できるか？
• RQ5 最大事後確率推定の文脈において、提案された事前分布と架空の試合の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• ハルデーン事前分布は正規化不可能であり、他の3つの望ましい性質を満たしても、正規化可能性という望ましい性質に反する。
• ジェファレズ事前分布およびダヴィッドソン＝ソロモンの共役事前分布は、チーム総数に依存するため、チーム削除に対する不変性に反する。
• 実力に対するディリクレ事前分布は、勝敗の入れ替えに対して不変ではなく、$\theta_{ij} \leftrightarrow 1 - \theta_{ij}$ の対称性を満たさない。
• 対数実力に対する独立したガウス事前分布は、すべての4つの望ましい性質を満たしており、1つのスケールパラメータを持つ階層的モデルに等価である。
• 対数実力に対するタイプIII一般化ロジスティック事前分布は、$\zeta_i$ に対する対称的ベータ(η,η)事前分布から導出され、すべての望ましい性質を満たしており、解析的に扱いやすい。
• ガウス分布およびタイプIII一般化ロジスティック分布の両方の事前分布は、事後分布が実際の試合結果に加えて中立的チームとの $\eta$ 勝利および $\eta$ 敗北を加えたものと等価であることを示しており、頻度主義的推定手法への直接的な適応が可能である。