[論文レビュー] Prioritized Inverse Kinematics: Nonsmoothness, Trajectory Existence, Task Convergence, Stability

Sang-ik An, Dongheui Lee|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非滑らか性、軌道の存在、タスクの収束、安定性を分析することで、優先順位付き逆運動学（PIK）の理論的基盤を確立する。PIK解における関節軌道の代替的存在・一意性定理を導入し、定常な所望軌道を仮定しないでタスク収束を証明し、平衡点の漸近的安定性を示すことで、優先タスクを有するロボットシステムの信頼性の高い制御設計を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we study various theoretical properties of a class of prioritized inverse kinematics (PIK) solutions that can be considered as a class of (output regulation or tracking) control laws of a dynamical system with prioritized multiple outputs. We first develop tools to investigate nonsmoothness of PIK solutions and find a sufficient condition for nonsmoothness. It implies that existence and uniqueness of a joint trajectory satisfying a PIK solution cannot be guaranteed by the classical theorems. So, we construct an alternative existence and uniqueness theorem that uses structural information of PIK solutions. Then, we narrow the class of PIK solutions down to the case that all tasks are designed to follow some desired task trajectories and discover a few properties related to task convergence. The study goes further to analyze stability of equilibrium points of the differential equation whose right hand side is a PIK solution when all tasks are designed to reach some desired task positions. Finally, we furnish an example with a two-link manipulator that shows how our findings can be used to analyze the behavior of a joint trajectory generated from a PIK solution.

研究の動機と目的

• 優先順位付き逆運動学（PIK）における理論的ギャップ、特に非滑らか性と軌道の存在に関する問題を解決すること。
• 古典的定理が成立しない状況下でも、関節軌道が存在し一意である条件を確立すること。
• 所望軌道が固定位置に限らない時間変動する軌道に従うタスクの収束を分析すること。
• タスクが固定された所望位置を指向する場合、PIK解によって定義される微分方程式の平衡点の安定性を調査すること。
• ロボットシステムにおけるPIKに基づく制御則の信頼性ある設計を支援する理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 目的関数の表現特性を緩和することで、PIK解の非滑らか性を分析するためのツールを開発した。
• 古典的定理（例えばペアノの定理）を回避するため、PIK解の構造的性質を用いた代替的存在・一意性定理を提案した。
• 優先出力を有する動的システムの制御則としてPIK解を定式化し、軌道挙動の分析を可能にした。
• 積分不等式と極限の議論を用いて、時間変動する所望軌道下でのタスク収束を分析した。
• リャプノフ型の解析により、平衡点の漸近的安定性を確立し、所望タスク位置への収束を証明した。
• 2リンクマニピュレータの例を用いて、非滑らかPIK下での軌道存在、収束、安定性の有効性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でPIK解が非滑らかとなり、それが形式的にどのように特徴付けられるか？
• RQ2 古典的定理が失敗する状況下でも、PIK解を満たす関節軌道が存在し一意であることを保証できるか？
• RQ3 タスクが時間変動する所望軌道に従う場合、PIK解がタスク収束を保証するか。また、どのようなフィードバックゲインが有効か？
• RQ4 タスクが固定された所望位置を指向する場合、PIKによって定義される微分方程式の平衡点は漸近的に安定か？
• RQ5 理論的知見は、実用的ロボットシステムにおける信頼性ある挙動を保証するためにどのように応用できるか？

主な発見

• PIK解の非滑らか性の十分条件が導出され、古典的存在定理が軌道の存在を保証できないことが示された。
• PIK解の構造的性質を用いた代替的存在・一意性定理が構築され、PIKが非滑らかであっても軌道の存在が保証された。
• すべての正のフィードバックゲインに対して、時間変動する所望軌道へのタスク収束が証明され、所望軌道が定常でない場合でも成立する。
• タスクが固定された所望位置を指向する場合、PIKによって定義される微分方程式の平衡点は漸近的に安定である。
• 関節軌道の極限が、最終的な構成が運動学的制約を満たす場合にのみ、実現可能集合内の点に収束する。これにより、タスク誤差の収束が保証される。
• 2リンクマニピュレータの例により、提案された枠組みを用いることで、軌道存在、タスク収束、安定性が解析的に保証できることを確認した。