[論文レビュー] Prismatic Dieudonn\'e theory

Johannes Anschütz, Arthur-César Le Bras|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、準正則的シンティプトニック環上のp-可除群に対するプリズマティックDieudonné理論を確立する。そのために、admissible prismatic Dieudonné crystalの圏DMadm(R)を導入し、R上のp-可除群の圏からDMadm(R)への関手が反同値であることを証明する。この構成はプリズマティックコhomologyを用い、古典的Dieudonné理論を特徴的pの制限を避け、完璧な体をもつ完備正則局所環やp-完備環などの環へと混合特徴的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We define, for each quasi-syntomic ring $R$ (in the sense of Bhatt-Morrow-Scholze), a category $\mathrm{DM}^{ m adm}(R)$ of extit{admissible prismatic Dieudonn\'e crystals over $R$} and a natural functor from $p$-divisible groups over $R$ to $\mathrm{DM}^{ m adm}(R)$. We prove that this functor is an antiequivalence. Our main cohomological tool is the prismatic formalism recently developed by Bhatt and Scholze.

研究の動機と目的

• 特徴的pを超えて混合特徴的設定へと古典的Dieudonné理論を拡張すること。
• プリズマティックコhomologyを用いて、p-可除群の分類関手を一様的かつ幾何学的に構成すること。
• 特にp=2の場合の既存理論の制限を克服するため、クリスタリン形式主義をプリズマティック形式主義に置き換えること。
• admissible prismatic Dieudonné crystalを定義し、分類関手の自然な標的圏として特徴づけること。
• 準正則的シンティプトニック環上でのp-可除群とadmissible prismatic Dieudonné crystalの間の反同値を確立すること。

提案手法

• 準正則的シンティプトニック環R上のadmissible prismatic Dieudonné crystalの圏DMadm(R)を導入する。
• Bhatt-Scholzeのプリズマティック形式主義とプリズマティックコhomologyを用いて、R上のp-可除群の圏からDMadm(R)への関手を構成する。
• Ext群の計算と関手の完全忠実性の確立に、プリズマティックコhomology形式主義を適用する。
• p-完全に忠実な平坦準同型の下降理論を用いて、p-可除群および有限局所自由群スキームのスタック性を証明する。
• q対数関数と切断されたHodge-Tateコhomologyを用いて、準正則的セミパーフェクトイド環上でのプリズマティックコhomologyの構造を分析する。
• 既知の事例（例：OK上やµp∞上）との比較を通じて反同値を示し、スライストポスの技法を用いて本質的全射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合特徴的設定において、準正則的シンティプトニック環上のp-可除群を分類するプリズマティックDieudonné理論を構成可能か？
• RQ2 プリズマティック形式主義は、混合特徴的設定におけるクリスタリンコhomologyの制限を避ける一様な分類をどのように可能にするか？
• RQ3 admissible prismatic Dieudonné crystalの正確な構造は何か？そして、Frobenius作用と接続を持つ加群として具体的に記述可能か？
• RQ4 プリズマティックDieudonné関手は、準正則的シンティプトニック環を越えてより一般の環へと拡張可能か？その場合、Dieudonné crystalの適切な類似物は何か？
• RQ5 Grothendieck-Messing理論の精神に則った、プリズマティックDieudonné関手の変形理論は構築可能か？

主な発見

• 準正則的シンティプトニック環R上のp-可除群の圏からadmissible prismatic Dieudonné crystalの圏DMadm(R)への関手は反同値である。
• p-可除群のプリズマティックDieudonné crystalはプリズマティックコhomologyを用いて構成され、完全忠実かつ本質的に全射であることが示された。
• 群スキームQp/Zpおよびµp∞のプリズマティックDieudonnéモジュールは明示的に計算され、既知の結果を回復した。
• 理論はOK上での古典的Dieudonné理論と整合しており、p-完備環へと拡張可能である。
• 証明はp-完全に忠実な平坦準同型の下降に依拠し、G[pn]の双対がプリズマティックサイトのコhomologyと同一視されることを用いた。
• 構成は幾何学的かつ内因的であり、特徴的pへの還元を避け、特にp=2の場合の従来の手法の制限を解消した。