[論文レビュー] Privacy preserving clustering with constraints

Clemens Rösner, Melanie Schmidt|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Data Management and Algorithms被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、各クラスタに少なくとも ℓ 個の点を含む必要があるというプライバシー制約を、既存の制約付き k-センター問題の近似アルゴリズムに組み込む一般化手法を提示する。閾値処理と最大フローネットワーク構築を繰り返し用いて点の再割り当てを実行することで、近似保証を維持しつつ、プライベート k-センターに対しては 4-近似、k-サプライヤーに対しては 5-近似を達成する。この手法は、外れ値、公平性、容量制約などとの組み合わせにも拡張可能である。

ABSTRACT

The $k$-center problem is a classical combinatorial optimization problem which asks to find $k$ centers such that the maximum distance of any input point in a set $P$ to its assigned center is minimized. The problem allows for elegant $2$-approximations. However, the situation becomes significantly more difficult when constraints are added to the problem. We raise the question whether general methods can be derived to turn an approximation algorithm for a clustering problem with some constraints into an approximation algorithm that respects one constraint more. Our constraint of choice is privacy: Here, we are asked to only open a center when at least $\ell$ clients will be assigned to it. We show how to combine privacy with several other constraints.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、制約付き k-センター問題の既存の近似アルゴリズムに、プライバシー制約（各クラスタに少なくとも ℓ 個の点が含まれること）を追加できる一般的でブラックボックス型の手法を開発することである。
• 本研究は、外れ値、公平性、容量制限などの他の制約と組み合わせた際の下界プライバシー（各クラスタに少なくとも ℓ 個の点が含まれること）の統合という課題に取り組む。
• 目的は、元のアルゴリズムの近似比を保ちつつ、すべてのクラスタがプライバシーの閾値を満たすようにすることである。
• この手法は、ベースとなる近似アルゴリズムの内部構造に依存せず、多様なクラスタリングの変種へのモジュラーな拡張を可能にする。
• 著者らは、施設配置問題や k-メディアン問題へのプライバシーの拡張についても検討し、より広範な適用性における未解決の課題を同定している。

提案手法

• 本手法は、閾値処理フレームワークを用い、最小の妥当な解が得られるよう、τ（候補半径）の値を段階的に増加させて探索する。
• 各閾値 τ に対して、まずベース問題（例：外れ値付き k-センターまたは公平性付き k-センター）に対して α-近似を実行し、初期クラスタリングを生成する。
• 各保護対象特徴（色）i に対して、色別閾値グラフ Gτ,i を構築し、プライバシー制約を満たすために可能な再割り当てをモデル化する。
• 各 Gτ,i に対して整数最大 s-t フローを計算し、プライバシー制約を満たす点の再割り当てを特定する。
• フローがすべての (vj, t) エッジを飽和させない場合（あるクラスタに色 i の点が十分にない場合）、残余ネットワークから現在のクラスタ数ではカバーできない点のサブセットを同定する。
• このサブセットに対して、ベースアルゴリズムを再帰的に再適用し、クラスタ数を減少させ、反復を繰り返す。これにより、妥当でプライバシーを尊重する解が得られるか、τ < opt であると判明するまで続ける。
• このプロセスは高々 k 回の反復で終了し、多項式時間の複雑性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約付き k-センター問題の既存の近似アルゴリズムに、各クラスタに少なくとも ℓ 個の点が含まれるというプライバシー制約を追加できる一般的でブラックボックス型の手法を設計できるか？
• RQ2 k-センター問題において、外れ値、公平性、容量制限などの他の制約と組み合わせた場合、プライバシー制約を満たす近似比はどの程度達成可能か？
• RQ3 複数の保護対象特徴（強いプライベート k-センター）を持つ k-センター問題に、この手法を拡張できるか。この場合、各クラスタに各色 i に対して少なくとも ℓi 個の点が含まれる必要がある。
• RQ4 同じフレームワークを施設配置問題および k-メディアン問題に適用できるか。そのような拡張において生じる制限要因は何か？
• RQ5 容量制限付き施設配置問題にプライバシー制約を追加できるか。ただし、すべての施設 c に対して ℓ ≤ u(c)/2 という制限がない場合に限る。

主な発見

• 本手法は、プライベート k-センター問題に対して 4-近似を達成し、k-サプライヤー問題に対しては 5-近似を達成する。
• 外れ値付きプライベート k-センターでは 5-近似（k-センターでは 4-近似）を達成し、制約なしの問題における既知の最良の境界と一致する。
• 本手法は公平性付き k-センターおよび公平性付き容量制限付き k-センターにも拡張可能であり、いずれの場合にも 4-近似を達成する。
• 強いプライベート k-センター（各クラスタに各色 i に対して少なくとも ℓi 個の点が含まれる）に対しても適用可能で、k-センターでは 4-近似、k-サプライヤーでは 5-近似を達成する。
• アルゴリズムは O(k) 回の反復で保証的に終了し、多項式時間の複雑性が保証される。
• フレームワークは一般性に富み、ベース問題の任意の α-近似アルゴリズムに適用可能であり、近似比を α + 2 の要因まで保つ。