[論文レビュー] Privileged coordinates and tangent groupoid for Carnot manifolds

Woocheol Choi, Raphaël Ponge|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、外在的接群と内在的接群を一致させるように精錬された privileged 座標であるCarnot座標を導入し、Carnot多様体間の構造を保つ写像に対する微分幾何的接近近似を可能にする。また、Carnot多様体のための接群族を構成し、Bella’icheの予想を実現するとともに、完全な超局所微分作用素計算の枠組みを確立する。

ABSTRACT

This paper is part of a series of papers on the construction of a full hypoelliptic pseudodifferential calculus on Carnot manifolds. The first goal of the paper is to produce a refinement of privileged coordinates for Carnot manifolds for which the extrinsic tangent group agree with the intrinsic tangent group. We call these coordinates Carnot coordinates. These coordinates have various applications and we present a number of them in this paper. This lead us to the second goal of this paper, which is to use these coordinates to establish an approximation result for maps between Carnot manifolds that are compatible with the Carnot manifold structures. Here the map is approximated in a suitable way by its tangent map, which is defined as a Lie group map between the corresponding tangent groups. This result is new and is the complete analogue in the setup of Carnot manifolds of the tangent linear approximation of smooth maps between manifolds. The third goal of this paper is to make use of the Carnot coordinates and their properties to construct an analogue for Carnot manifolds of the tangent groupoid of Connes. We then obtain a differentiable groupoid which encodes the smooth deformation of the pair groupoid $M imes M$ to the tangent Lie group bundle of the Carnot manifold. The existence of such a groupoid was conjectured by Bella\iche. This shows that the tangent group of Carnot manifold at a given point is tangent in a true differential-geometric fashion.

研究の動機と目的

• Carnot多様体上の privileged 座標を精錬し、外在的接群が内在的接群と一致するようにすること。
• Carnot多様体間の構造を保つ写像に対して、古典的な線形近似に類似した接写像近似を確立すること。
• Carnot多様体の対群族 $M \times M$ をその接リー群バンドルへと変形する微分可能な群族を構成すること。
• Bella’icheの予想、すなわちCarnot多様体に対してこのような接群族の存在が保証されることを確認すること。
• Carnot多様体上での完全な超局所微分作用素計算の枠組みを構築すること。

提案手法

• 外在的および内在的接構造の整合性を保証するために、privileged 座標の精錬としてCarnot座標を導入すること。
• Carnot座標を用いて、Carnot多様体構造を保つ接群間の写像を定義すること。
• 対群族 $M \times M$ をCarnot多様体の接リー群バンドルへと滑らかに変形する群族を構成すること。
• Carnot座標の性質を応用して、得られた対象の微分可能性および群族構造を検証すること。
• 群族を用いて、超局所解析に整合する無限小変形を符号化すること。
• 点における接群が真正に微分幾何的意味で接していること、すなわち構成の幾何的自然性が裏付けられることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Carnot多様体上の privileged 座標は、どのように精錬すれば外在的接群が内在的接群と一致するようにできるか？
• RQ2 Carnot多様体間の写像は、構造を保ちつつ、どの程度その接写像によって近似可能か？
• RQ3 Carnot多様体の対群族をその接リー群バンドルへと変形する微分可能な群族が存在するか？
• RQ4 Carnot多様体の接群は、真正に微分幾何的接対象として解釈可能か？
• RQ5 このような群族の構成は、完全な超局所微分作用素計算をどのように支援するか？

主な発見

• Carnot座標は、各点における外在的接群がCarnot多様体の内在的接群と一致するように構成されている。
• 構造を保つ写像に対する、古典的な線形近似に類似した新しい接近近似が確立された。
• Carnot多様体の接群族が、$M \times M$ を接リー群バンドルへと変形する微分可能な群族として明示的に構成された。
• この構成により、Bella’icheの予想、すなわちCarnot多様体の文脈におけるこのような群族の存在が裏付けられた。
• 点における接群が真正に微分幾何的意味で接していることが示され、構成の幾何的自然性が裏付けられた。
• この枠組みは、Carnot多様体上での完全な超局所微分作用素計算の構築を支援する。