[論文レビュー] Pro-p Iwahori-Hecke algebras are Gorenstein

Rachel Ollivier, Peter Schneider|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、pro-p Iwahori-Hecke代数とそのIwahori-Hecke版が、再帰的群Gのランクによって上限が与えられる有界な自己内射次元をもつGorenstein環であることを確立し、Gが単純型のときにはAuslander-Gorenstein環であることを示している。さらに、特徴がpであるとき、これらの代数は無限大のグローバル次元をもち、kが代数的閉体であるとき、Iwahori不変ベクトルによって生成されるGの滑らかなk表現の圏も無限大のグローバル次元をもつことを示している。

ABSTRACT

Let F be a locally compact nonarchimedean field with residue characteristic p and G the group of F-rational points of a connected split reductive group over F. For k an arbitrary field, we study the homological properties of the Iwahori-Hecke k-algebra H' and of the pro-p Iwahori-Hecke k-algebra H of G. We prove that both of these algebras are Gorenstein rings with self-injective dimension bounded above by the rank of G. If G is semisimple, we also show that this upper bound is sharp, that both H and H' are Auslander-Gorenstein and that there is a duality functor on the finitely generated modules of H (respectively H'). We obtain the analogous Gorenstein and Auslander-Gorenstein properties for the graded rings associated to H and H'. When k has characteristic p, we prove that in most cases H and H' have infinite global dimension. In particular, we deduce that the category of smooth k-representations of G=PGL(2,Q_p) generated by their invariant vectors under the pro-p-Iwahori subgroup has infinite global dimension (at least if k is algebraically closed).

研究の動機と目的

• 任意の体上のpro-p Iwahori-Hecke代数およびIwahori-Hecke代数のホモロジー的性質を研究すること、特に特徴がpのときの性質を調べること。
• これらの代数がGorenstein環であるかどうか、およびそのモジュール圏に双対関手が存在するかどうかを特定すること。
• 特にmod p表現理論の文脈において、底体の特徴がpであるときのこれらの代数のグローバル次元を分析すること。
• Hecke代数の関連する順序付き環へのGorensteinおよびAuslander-Gorenstein性質の拡張。

提案手法

• Bruhat-Tits理論とアフィンワイル群の構造を用いて、pro-p Iwahori-Hecke代数Hの代数的構造を分析すること。
• 普遍的分解の構成とFrobenius拡大の適用により、Hとその部分代数との関係を確立すること。
• 順序付きHecke代数の理論の適用と、コキャラクター格子上の長さ関数の使用により、ネーター性と有限生成性を確立すること。
• 中心およびワイル群作用を介して、非可換環論の結果（自己内射次元の上限、Auslander-Gorenstein条件など）を活用すること。
• Gordonの補題を用いてコキャラクター格子内の半群の有限生成性を証明し、順序付き代数が可換部分環上有限生成であることを保証すること。
• 標準的フィルトレーションと関連する順序付き環を用いて、Hからgr•Hへのホモロジー的性質の移行を実行すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の体上のpro-p Iwahori-Hecke代数は、有限な自己内射次元をもつGorenstein環であるか？
• RQ2 kの特徴がpであるとき、Gの滑らかなk表現の圏でIwahori不変ベクトルによって生成される圏は有限グローバル次元をもつのか？
• RQ3 pro-p Iwahori-Hecke代数に関連する順序付き環はGorensteinであるか？また、その自己内射次元はいかほどか？
• RQ4 Gが単純型のとき、pro-p Iwahori-Hecke代数がいつAuslander-Gorensteinであるか？
• RQ5 正の特徴におけるIwahori-Hecke代数およびそのpro-p版のグローバル次元はいかほどか？

主な発見

• pro-p Iwahori-Hecke代数HとIwahori-Hecke代数H′は、両方ともGorenstein環であり、自己内射次元がGのランクによって上限が与えられる。
• Gが単純型のとき、HとH′の自己内射次元はGのランクに正確に等しく、この上限がタイトであることを示している。
• 関連する順序付き環gr•Hとgr•H′もGorensteinであり、Gが単純型のとき、Auslander-Gorenstein環である。
• 体kの特徴がpであるとき、代数HとH′は無限大のグローバル次元をもち、これはIwahori不変ベクトルによって生成されるGの滑らかなk表現の圏が無限大のグローバル次元をもつことを示唆している。
• 特に、G = PGL₂(ℚₚ)でkが特徴pの代数的閉体であるとき、Iwahori不変ベクトルによって生成される滑らかなk表現の圏は無限大のグローバル次元をもつ。
• 順序付き代数gr•Hは、有限生成な可換k代数上の有限生成モジュールとして生成され、これにより左および右ネーター的であることが保証される。