[論文レビュー] Proatomic modular ortholattices: Representation and equational theory

Christian Herrmann, Michael Roddy|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限次元MOLによって生成されるラティスのクラスとして、proatomicモジュラ直交ラティス（MOL）を導入し、それらが原子的拡張と幾何的表現をもつラティスと同値であることを確立している。主な貢献は、BrunsとRoddyの手法を用いて、proatomic MOLが、幾何的表現をもつこと、または原子的MOL拡張をもつこととちょうど一致することを示す特徴づけ定理である。

ABSTRACT

We study modular ortholattices in the variety generated by the finite dimensional ones from an equational and geometric point of view. We relate this to coordinatization results.

研究の動機と目的

• 有限次元MOLによって生成されるモジュラ直交ラティスの多様体を特徴づけること、特に「proatomic」MOLの概念を導入すること。
• proatomic MOL、原子的MOL拡張をもつMOL、幾何的表現をもつMOLの間の同値性を確立すること。
• 特に座標化とラティス多様体との関係において、MOLの恒等式的および幾何的構造を調査すること。
• 直交フレームと射影的関係が、単純に非可約で表現可能なMOLにおいて果たす役割を調査すること。
• ラティス的表現を通じて、$*$-正則環とフォン・ノイマン代数の理論とを結びつけること。

提案手法

• BrunsとRoddyのMOL構成法を用いて、proatomic MOLを生成・分析すること。
• HerrmannとRoddyの直交含意の概念を用いて、MOLにおける含意と合同関係を分析すること。
• Frinkの埋め込みとJónssonの保存定理を適用して、ラティス恒等式と恒等的閉包の関係を明らかにすること。
• 最小合同関係と射影的関係を用いて、単純に非可約MOLを分析すること。
• 直交3フレームによって生成される任意の有限および無限高のproatomic MOLの例を構成すること。
• ラティス合同関係と中立的イデアルを用いて、多様体およびその部分多様体を特徴づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限次元MOLによって生成されるモジュラ直交ラティス（すなわち、proatomic MOL）は、原子的拡張の存在によって特徴づけられるか？
• RQ2 任意のproatomic MOLは、非等方的極性をもつ射影空間における幾何的表現をもつのか？
• RQ3 すべての連続的かつ可算完全なMOLはproatomicであり、有限次元MOLによって生成される準多様体に属するのか？
• RQ4 すべてのアーゲューサン型proatomic MOLは、直交基底をもつ空間を用いて表現可能か？
• RQ5 高さ≥3の単純に非可約で座標化可能なMOLの中で、直交的大きな部分nフレームをもたないものは存在するか？

主な発見

• proatomicであること、原子的MOL拡張をもつこと、幾何的表現をもつことの3つの性質が同値であることは、proatomic MOLのクラスを定義する。
• すべての有限および無限高に対して、直交3フレームによって生成される単純に非可約proatomic MOLが存在する。
• 有限次元MOLによって生成される多様体は、部分代数および積について閉じており、Frinkの埋め込みによって保存される恒等式によって公理化可能である。
• 最小合同関係をもつ補完的モジュララティスは、非自明な合同関係の交わりをもつ有限生成単純に非可約ラティスを生成する。
• 幾何的表現が存在することは、ラティスがアーゲューサン法則を満たし、特定のフレーム条件のもとで座標化可能であることを示唆する。
• $*$-正則環において、主右イデアルのラティスがproatomicであり、直交的大きな部分$n$-フレームをもつならば、環はユニット正則である。