[論文レビュー] Probabilistic analysis of the Grassmann condition number

Dennis Amelunxen, Peter Bürgisser|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般の凸可能性問題におけるグラスマン条件数の平均ケース解析を初めて提示する。リーマン幾何学的手法を用いてグラスマン多様体上で、条件数を正則錐の球面内在的体積と関連付ける。独立同一分布の標準正規行列に対して、期待対数条件数が $ \mathbb{E}[\ln\mathscr{C}(A)] < 1.5\ln n + 1.5$  で有界であることを示し、線形計画法を超えた確率的解析を拡張する。

ABSTRACT

We analyze the probability that a random m-dimensional linear subspace of R^n both intersects a regular closed convex cone C\subseteq R^n and lies within distance αof an m-dimensional subspace not intersecting C (except at the origin). The result is expressed in terms of the spherical intrinsic volumes of the cone C. This allows us to perform an average analysis of the Grassmann condition number \C(A) for the homogeneous convex feasibility problem \exists x\in C\setminus 0 : Ax=0. The Grassmann condition number is a geometric version of Renegar's condition number, that we have introduced recently in [SIOPT 22(3):1029-1041, 2012]. We thus give the first average analysis of convex programming that is not restricted to linear programming. In particular, we prove that if the entries of A\in R^{m imes n} are chosen i.i.d. standard normal, then for any regular cone C, we have E[ln\C(A)]&lt;1.5 ln(n)+1.5. The proofs rely on various techniques from Riemannian geometry applied to Grassmann manifolds.

研究の動機と目的

• 線形計画法を超えて一般の凸可能性問題へと条件数の確率的解析を拡張すること。
• 独立同一分布の標準正規行列を有するランダム行列に対する期待対数グラスマン条件数を分析すること。
• 条件数と正則凸錐の球面内在的体積との間の関係を確立すること。
• 同次凸可能性問題（二次錐計画法および半正定値計画法を含む）に対する幾何学的平均ケース複雑度解析を提供すること。

提案手法

• 凸可能性問題の入力を表すために、$ \mathrm{Gr}_{n,m}$  を用いて $ \mathbb{R}^n$  内の $m$ 次元部分空間をモデル化する。
• 正則錐 $C$ との交わりおよびその双対錐 $ \breve{C}$  との交わりに基づき、原始的および双対的可解部分空間を定義する。
• 条件数 $ \mathscr{C}(A)$  は、$A$ の核空間から、原点でのみ $C$ と交わる部分空間の集合 $ \Sigma_m(C)$  までの距離を通じて分析される。
• 本稿では、グラスマン多様体上のチューブ公式と積分幾何学を用いて、ランダム部分空間が $ \Sigma_m(C)$  から距離 $ \alpha$  以内にある確率を計算し、これを $C$ の球面内在的体積と関連付ける。
• 幾何確率とグラスマン多様体上の曲率積分を用いて、期待対数条件数の上限を導出する。リーマン微分幾何学の結果を活用する。
• 不適切な入力の集合がレベーグ測度ゼロであるという事実に依拠し、ほとんど確実に適切な問題であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立同一分布の標準正規行列を有するランダムな $m \times n$ 行列 $A$ に対して、正則凸錐 $C$ を含む可能性問題における対数グラスマン条件数の期待値は何か？
• RQ2 グラスマン条件数は錐 $C$ の球面内在的体積とどのように関係するか？
• RQ3 凸プログラミングにおける条件数の確率的解析を、線形計画法を超えて二次錐計画法および半正定値計画法を含む形に拡張できるか？
• RQ4 ランダムな $m$ 次元部分空間が、不適切な集合 $ \Sigma_m(C)$  から距離 $ \alpha$  以内にある確率は何か？ そしてこれは条件数にどのように影響するか？
• RQ5 錐 $C$ の幾何的不変量（例えば内在的体積）は、凸可能性問題の平均ケース複雑度にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の正則錐 $C$ に対して、$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ が独立同一分布の標準正規行列を有するとき、期待対数グラスマン条件数は $ \mathbb{E}[\ln\mathscr{C}(A)] < 1.5\ln n + 1.5$  を満たす。
• ランダムな $m$ 次元部分空間が、不適切な集合 $ \Sigma_m(C)$  から距離 $ \alpha$  以内にある確率は、$ \varepsilon \cdot \exp(n/m)$  で有界であり、$ \varepsilon$  は小さな誤差項である。
• グラスマン条件数は、$A$ の核空間からグラスマン多様体における実行可能領域の境界までの距離によって幾何的に特徴づけられる。
• 本稿の分析により、条件数と錐 $C$ の球面内在的体積との間の明確な関係が確立され、非線形凸計画法へと以前の結果を一般化する。
• 本手法は、非負の直交座標（線形計画法）、ローレンツ錐（二次錐計画法）、正定値錐（半正定値計画法）を含む、すべての正則錐に一様に適用可能である。
• 本結果は、線形計画法に限定されない凸プログラミングの最初の平均ケース複雑度解析を提供し、スメールの数値アルゴリズム解析の二段階的枠組みを顕著に拡張する。