[論文レビュー] Probabilistic estimates for the Two Dimensional Stochastic Navier-Stokes Equations

Jean Bricmont, A. Kupiainen+1 more|ArXiv.org|Dec 27, 1999

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トーラス上での2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式について、空間的に解析的で時間的に白色雑音である外力によって駆動される場合に、解の長時間挙動について確率的推定を確立する。レイノルズ数 R → ∞ の極限において、エネルギースペクトルおよび散逸スケールの境界を導出し、乱流エネルギーの逆 cascades が、確率的外力の解析性および時間的白色雑音構造によって制限されることを示している。

ABSTRACT

We consider the Navier-Stokes equation on a two dimensional torus with a random force, white noise in time and analytic in space, for arbitrary Reynolds number $R$. We prove probabilistic estimates for the long time behaviour of the solutions that imply bounds for the dissipation scale and energy spectrum as $R o\infty$.

研究の動機と目的

• 任意のレイノルズ数 R における2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の解の長時間統計的挙動を分析すること。
• 確率的外力と流体力学の相互作用が、乱流流れにおけるエネルギー分布および散逸に与える影響を理解すること。
• 高レイノルズ数極限におけるエネルギースペクトルおよび散逸スケールに関する厳密な確率的境界を導出すること。
• 確率的外力の空間的解析性が、解の正則性およびスケーリングに与える影響を調査すること。
• 確率的外力が、R → ∞ であっても系の乱流挙動を制限することを確立すること。

提案手法

• 空間的に解析的で時間的に白色雑音である外力を持つ2次元ナビエ＝ストークス方程式をトーラス上に定式化する。
• 確率的手法を用いて、任意のレイノルズ数 R における解の長時間挙動を分析する。
• 統計力学および確率的偏微分方程式の手法を適用し、エネルギースペクトルおよび散逸スケールの推定を導出する。
• 空間的解析性を活用して、解のフーリエモードの正則性および減衰性を制御する。
• 事前推定およびモーメント境界を用いて、確率的外力下での高周波数モードの成長を制御する。
• 外力の構造を用いて、R → ∞ のときのエネルギースペクトルおよび散逸スケールの漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式のエネルギースペクトルは、高レイノルズ数極限でどのように振る舞うか？
• RQ2 時間に白色雑音、空間に解析的である外力のもとで、長時間の解挙動に確立可能な確率的境界は何か？
• RQ3 確率的外力の解析性は、散逸スケールおよびエネルギーカスケードにどのように影響するか？
• RQ4 外力構造のおかげで、レイノルズ数が増加しても系の乱流挙動は制限されるのか？
• RQ5 外力の空間的解析性と、解のフーリエモードの正則性の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 本稿は、2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式のエネルギースペクトルが、空間的解析性に起因する減衰率と整合する速度で減衰することを確立している。
• 任意の大きなレイノルズ数に対しても、解の長時間挙動を制御する確率的推定が得られている。
• 散逸スケールは確率的に下限から抑えられており、小スケールでのエネルギーの無制限な蓄積を防いでいることが示された。
• エネルギースペクトルは、外力の解析的構造によって制限されたスケーリングを示しており、有限な有効散逸範囲を示している。
• R → ∞ のとき、確率的外力と方程式の非線形構造の相互作用のおかげで、系のエネルギー分布は制御されたままである。
• 結果から、高レイノルズ数であっても、確率的外力のおかげで長時間極限において、任意に小さなスケールの構造の形成が防がれていることが示唆される。